LINÉARISATION

1. A QUOI ÇA SERT ?
On utilise la linéarisation pour calculer des primitives de fonctions circulaires ou des intégrales faisant intervenir des fonctions circulaires.
Par exemple, comment détermine-t-on une primitive1 de la fonction t → cos3 (t) ?
La méthode consiste à se ramener à une somme de fonctions dont on connaît la primitive, ici des fonctions du type t → cos(at) et t → sin(at).
Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d’Euler. Pour tout réel θ , on a cos(θ ) =

eiθ + e−iθ
2

et

sin(θ ) =

eiθ − e−iθ
.
2i

2. E XEMPLE
Traitons par exemple l’exercice 1.19. du poly d’exercices.

cos3 (x) =

3

eix + e−ix
2

1 3ix e + 3eix + 3e−ix + e−3ix
8
1
= (2 cos(3x) + 6 cos(x))
8
cos(3x) + 3 cos(x)
=
4
=

On en déduit qu’une primitive de t → cos3 (t) est t →−

1
3
sin(3x) − sin(x).
12
4

Je donne la linérisation pour les 4 fonctions suivantes.
3

eix − e−ix
2i
−1 3ix
=
e − 3eix + 3e−ix − e−3ix
8i
−1
=
(2i sin(3x) + 6i sin(x))
8i
sin(3x) + 3 sin(x)
=−
4

sin3 (x) =

1

Une primitive est une fonction F qui vérifie pour tout réel t, F (t) = cos3 (t)
1

2

LINÉARISATION

4

eix + e−ix
2
1 4ix
=
e + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix
16
1
=
(2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6)
16
cos(4x) + 4 cos(2x) + 3
=
8

cos4 (x) =

4

eix − e−ix
2i
1 4ix
=
e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix
16
1
(2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6)
=
16 cos(4x) − 4 cos(2x) + 3
=
4

sin4 (x) =

2

cos2 (x) sin2 (x) =
=
=
=
=

2

eix + e−ix eix − e−ix
2
2i
−1 2ix e + 2 + e−2ix e2ix − 2 + e−2ix
16
−1 4ix e − 2e2ix + 1 + 2e2ix − 4 + 2e−2ix + 1 − 2e−2ix + e−4ix
16
−1
(2 cos(4x) − 2)
16
1 − cos(4x)
8

Autre manière cos2 (x) sin2 (x) = cos2 (x) 1 − cos2 (x)
= cos2 (x) − cos4 (x)
1 + cos(2x) cos(4x) + 4 cos(2x) + 3
−
2
8
4 + 4 cos(2x) − cos(4x) − 4 cos(2x) − 3
=
8
1 − cos(4x)
=
8
=

LINÉARISATION

Pour la suite je ne donne que les résultats
2 sin(2x) − sin(4x) cos(x) sin3 (x) =
8
2 sin(2x) + sin(4x)
3
cos (x) sin(x) =
8
2 cos(x) − cos(5x) − cos(3x)
3
2 cos (x)