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Mémo DNB
Première partie : calcul, fonctions

Année 2006-07

CALCUL SUR LES FRACTIONS
Fractions égales On obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : pour tous nombres a, b, k (avec b et k non nuls) Exemple : simplification de fractions 25 5 • 75 = 25÷25 = 1 • 35 = 35÷7 = 6 75÷25 3 42 42÷7 Position du signe "−" Pour tousnombres entiers a et b (avec b = 0) on a −a = b Addition, soustraction Pour tous nombres entiers a, b, c (c = 0), on a :
a c a −b a b a b a×k b×k a÷k b÷k

• •

= =

= − a et b

−a −b

=

a b

+b = c

a+b c

et

a c

−b = c

a−b c

Exemples : les deux fractions ont le même dénominateur 5 8 8 7 • 7 + 7 = 5+8 = 13 • 15 − 11 = 15−8 = 11 7 7 11 11 Exemples : les deuxfractions n’ont pas le même dénominateur On commence alors par réduire les deux fractions au même dénominateur : 7 7 5 • 5 − 8 = 20 − 21 = −1 • 6 + 3 = 5 + 14 = 19 6 6 6 6 24 24 24 Multiplication Pour tous nombres entiers a, b, c et d (avec b, d = 0), on a : Exemples : 2 • 5× 2 = 5 × 3 = 3 1
a b c ×d = a×c b×d

5×2 1×3

=

10 3

5 •4×7= 3

5×7 4×3

=

• Simplifiez avant d’effectuer lesproduits :

35 12 33 15 × 25 11

=

15×33 11×25

=

5×3×11×3 11×5×5

=

9 5

Inverse, division Soient a, b, c et d quatre nombres entiers (avec b, c, d = 0) : c • L’inverse de la fraction d est d c •Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction : Exemples : 3 • 5÷ 2 = 5× 2 = 3 •
4 15 12 ÷ 35 = 4 15

a b

c ÷d =

a b

×d c

×

15 1 5 • 5 ÷ 3= 5 ÷ 3 = 5 × 3 = 12 2 4 4 1 4 35 4×35 4×5×7 7 7 = 15×12 = 3×5×3×4 = 3×3 = 9 12

C ALCUL SUR LES PUISSANCES
Définitions Soit n un entier naturel, soit a un nombre non nul quelconque : alors on définit 1 1 (On pose a 0 = 1) a n = a × a × a × · · · × a et a −n = n = a a × a × a ×···× a
n facteurs n facteurs

Exemples : • 43 = 4 × 4 × 4 = 64

• 3−2 =

1 32

=1 9

• 210 = 2 × 2 × · · · ×2 = 1 024
10 facteurs

Cas particulier : les puissances de 10 Si n est un nombre entier positif, 10n = 1 00 . . . 0 et 10−n = 0, 0 . . . 0 1
n zéros n zéros 1 Exemples : • 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 • 10−4 = 104 = 10 1 = 0, 000 1 000 Opérations sur les puissances Si a est un nombre non nul quelconque, n et p deux nombres entiers (positifs ou négatifs) : 1 Multiplication : a n × a p= a n+p Inverse : n = a −n a an n−p Division : p = a Exponientiation : (a n )p = a n×p a

Exemple :

74×2 × 7−2 78 × 7−2 78−2 76 = = 4 = 4 = 76−4 = 72 = 49 74 74 74 7 7 Propriétés Si a et b sont des nombres non nul quelconque, n un nombre entier (positif ou a n an négatif) : (a × b)n = a n × b n = n et b b × 7−2 = −3 2
3

74

2

Exemples : • 204 = (2 × 10)4 = 24 × 104 = 16 × 1 000 = 16000 •

=

(−3)3 −27 = 23 8

Ecriture scientifique Tout nombre décimal peut s’écrire de manière unique sous la forme a × 10n , où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (10 exclus), et où n est un nombre entier relatif. Exemples : • 752 000 = 7, 52 × 105 • 0, 005 1 = 5, 1 × 10−3 • 21 × 103 = 2, 1 × 104

Un exercice-type : 70 × 103 × 2 × 10−5 Donner l’écriture décimale et scientifiquedu nombre A = 2, 8 × 10−4 70 × 103 × 2 × 10−5 70 × 2 103 × 10−5 140 10−2 × × = = = 50×102 = 5 000 = 5×103 A= 2, 8 × 10−4 2, 8 10−4 2, 8 10−4

R ACINES CARRÉES
Définition Soit a un nombre positif ; il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est appelé racine carrée de a, et se note a. Exemples : • 9 = 3 • 25 = 5 • 100 = 10 Les nombres dont la racine carrée est unnombre entier sont appelés carrés parfaits ; en voici la liste des quinze premiers : a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Propriétés • Pour tout nombre a positif, a = a • Pour tout nombre a, a 2 = a si a est positif, a 2 = −a si a est négatif • Pour tous nombres a et b positifs, a × b = a × b • Pour tous nombres a et b positifs (b = 0), 7 =7 900 =...
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