Loi binomial

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  • Publié le : 24 avril 2011
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Solution: 1°/ Appelons X la variable aléatoire égale au nombre d'accidents recensés par jour; les valeurs possibles de X sont entières (variable discrète)et varient de 0 à 5. A chacune de ces valeurs Xi, on associe sa probabilité de réalisation Pi: nombre de jours d'apparitions divisé par 200.

Nombre Xi d'accidents Probabilités Pi

0,43

°

10,41

2 0,11

3 0,035

4 0,01

5 0,005

Le nombre moyen d'accidents par jours est alors l'espérance mathématique de X :

E(X) = LXiPi = (0 x 86 + 1 x 82 + 2 x 22 + 3 x 7 + 4 x 2 + 5 x1)/200 = 0,8 = 4/5
On peut énoncer qu'il y a en moyenne 0,8 accidents par jour ou, plus concrètement, 4 accidents en moyenne tous les 5 jours. C'est une moyenne: comme l'indique la statistique aucunaccident pendant plusieurs jours consécutifs

(86 jours sans accident), !

on pourrait constater

2°/ La loi de Poisson est la loi des "anomalies" indépendantes et de faible probabilité. On peutl'appliquer ici a priori

directement, faute d'autres informations sur la survenue des accidents. Afin de mieux s'en convaincre, en notant que les accidents sont considérés comme des événementsindépendants, on peut interpréter X comme une variable binomiale de paramètre n = 200 (nombre d'épreuves) de moyenne np = 0,8. Par suite p = 0,004. On est tout à fait dans le champ d'approximation de la loide Poisson: n> 50, p ,,;:,0,1 np = 0,8 da. et • Le paramètre de cette loi sera

A = np= 0,8 et :

Tableaux comparatifs :

La demière ligne indique les probabilités obtenues par la loibinomiale, très peu pratique ici eu égard au grand nombre d'observation (manipulation de combinaisons et puissances) : Pr{B = k} = Cnk X pkqn-k.Par exemple:

ri
..• )

Pr{B = 2} = C10 X (0,004)2(0,996)198= 200 x 199/2 x 0,000016 x 0,452219 ... =0,144 Nombre
Xi

d'accidents de jours

Nombre

Il Il
Il

86 0,43
1

°

1 82 0,41

Pi Pi théoriques
selon Poisson

Il Il Il

2 22 0,11...
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