Loi de nernst-einstein

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  • Publié le : 21 avril 2011
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Lorsque l'espèce est soumise à une force, cela rompt la symétrie des sauts, les probabilités de deux sauts opposés ne sont plus égales. Pour simplifier,on ne considère qu'une seule espèce, et un mouvement dans une direction donnée. Si Γ+ est la probabilité que la particule se déplace d'une longueur +δxpar unité de temps, et Γ- la probabilité qu'elle se déplace d'une longueur -δx, alors le parcours moyen après un temps t vaut :

Ce qui permet dedéfinir la vitesse moyenne v :

Ce mouvement sous l'effet d'une force crée un gradient de concentration. Or, la diffusion aléatoire tend à niveler lesconcentrations, et donc s'oppose à la migration « forcée », on a donc deux flux :
un flux j 1 créé par la force
j 1 = v · c, où c est la concentration del'espèce ;
un flux j 2 opposé qui suit la loi de Fick
où D est le coefficient de diffusion de l'espèce.
Le flux total vaut donc :

.Si l'on attend «suffisamment longtemps », on atteint un régime stationnaire : les flux j 1 et j 2 se compensent, on a un gradient de concentration constant. On a donc j= 0, soit, si c∞(x) est cette concentration constante :

Supposons maintenant que la force soit conservative(cas le plus fréquent). Elle dérive doncd'un potentiel η :
.
À l'équilibre dynamique, les particules sont réparties suivant une statistique de Maxwell-Boltzmann :

où k est la constante deBoltzmann et T est la température absolue. En introduisant ceci dans l'équation précédente, on obtient :

ce qui nous donne la loi de Nernst-Einstein
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