NOVANCIA
2ème année

Le processus de Poisson

Exemple :
Les arrivées des automobiles à un péage entre 13h et 15h ont été observées pendant une certaine période. On constate que :
Il y a en moyenne une arrivée toutes les minutes.
Les arrivées au cours d'une période (ici une minute ) sont indépendantes des événements survenus au cours des autres périodes.
Dans un intervalle de temps d'une minute, il n'est pas impossible mais rare qu'un autre automobiliste se présente.
Le nombre moyen d'arrivées est proportionnel au temps.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tranche d'une minute associe le nombre d'automobilistes arrivant au péage. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  = 1.
Le processus de Poisson se rencontre aussi dans les exemples suivants : appels à un standard téléphonique, arrivées de clients à une caisse, nombre d'erreurs sur une page de documents, pannes de machine, apparition de défauts sur des tissus…

Loi de Poisson :

La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  ( > 0 ) lorsque sa loi de probabilité est : k est un entier naturel. On a alors

Propriétés :

La variable aléatoire Y définie comme la somme de variables suivants respectivement des lois de Poisson indépendantes , de paramètres , suit aussi une loi de Poisson de paramètre
Si  > 20, on peut faire une approximation de la loi de Poisson par une loi normale de paramètres .

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p :
Si n est grand et p voisin de 0, alors la loi binomiale peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre  = np
Il convient de faire cette approximation pour n > 30 et np