Lois normales et autres lois dérivées
1 - Lois normales
a) - Définition et , notée N ( ; ),

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres
1 t–

si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) =
Si

= 0 et

–
1
e 2
2

2

.

= 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite.

Remarque
Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce : fluctuation des ventes, industrie : diamètres de pièces usinées qui sont la résultante de la qualité des matières premières, du réglage de la machine, de l'usure de l'outil, de la température...). b) - Propriétés
Si une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres
E(X) = . Sa variance est V(X) =

2

et donc son écart-type est

et , alors l'espérance mathématique de X est

.

c) - Théorème 1
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant les lois normales N (

X

.,

X

) et N (

Y

.,

Y

)

respectivement et soit a et b deux réels. a X + b Y est une variable aléatoire suivant la loi normale N (a

X

+b

Y

., a2

2
X

+ b2

2
Y

).

d) - Théorème 2
Si une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres

et , alors

X–

suit la loi normale centrée

réduite.
Ce résultat est important car il déduit l'étude des lois normales de celle de la loi normale centrée, réduite.
e) - Théorème 3
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles suivant des lois normales. X et Y sont indépendantes si et seulement si la covariance Cov(X , Y) de X et Y est nulle.
Remarque
La condition Cov(X , Y) = 0 est nécessaire mais non suffisante dans le cas de variables aléatoires quelconques.

2 - Vecteurs gaussiens
a) - Définition
Soit n

IN* et X = (X1 , X2 , ... , Xn) un n-uplet de variables aléatoires. n X est un vecteur aléatoire normal ou gaussien si pour tout n-uplets de réels

( 1,

2 , ... ,

n),

i

Xi est une

i=1

variable