Lois de conservation
[modifier] Formulation différentielle

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les équations de conservation en termes d’opérateurs différentiels.

La formulation différentielle générale de ces équations est :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) \frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0

Équation de bilan de la quantité de mouvement \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overline{\overline {\tau}} + \rho \vec{f}

Équation de bilan de l'énergie \frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overline{\overline {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} -\overrightarrow{\nabla} \cdot (\vec{\dot{q}}) + r

Dans ces équations :

t représente le temps (unité SI : s) ;

ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg⋅m-3) ;

\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 ) désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m⋅s-1) ;

p désigne la pression (unité SI : Pa) ;

\overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;

\vec{f} désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : N⋅kg-1) ;

e est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J⋅kg-1) ;

\vec{\dot{q}} est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : J⋅m-2⋅s-1) ;

r représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : J⋅m-3⋅s-1).