´ USUELLES
LOIS DE PROBABILITE
Dans cette note est faite une liste des lois de probabilit´e usuelles sur Ê — voire Ên — ou sur une de ses sous-parties ainsi que quelques unes de leurs propri´et´es (moyenne, variance, fonction caract´eristique). Qualifier ces lois de probabilit´e d’usuelles signifie qu’elles doivent
ˆetre connues de tous et non qu’elles seraient les seules qu’on puisse rencontrer dans un probl`eme, un exercice et surtout dans une situation concr`ete. De nombreuses propri´et´es sont donn´ees sans d´emonstration. Elles peuvent ˆetre trait´ees en exercice.
1. Lois discr` etes usuelles
1.1. Mesures de Dirac
D´
efinition 1. — Soient ÔE, E Õ un ensemble mesurable et x0

Ø0, 1Ù µÔB Õ

µ:E
B

1
0

È E un point. L’application

si x0 È B, sinon, est une mesure de probabilit´e sur ÔE, E Õ. Si le singleton Øx0 Ù est mesurable, l’application µ est alors dite mesure de Dirac en x0 , ou encore masse de Dirac en x0 , et est not´ee δØx0 Ù (la notation εØx0 Ù est aussi souvent employ´ee).
Une variable al´eatoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆ urement constante ´egale `a x0 et r´ecipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a

ÖX ×

x0 ,

VarÔX Õ

ϕX Ôθ Õ

0,

eiθX

eiθx0 .

Fonction de r´ epartition Mesure de Dirac en x0
1

1

0

0 x0 x0

On pourra prendre pour d´efinition :
D´
efinition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´epar´e (tous les singletons sont mesurables).
Toute loi discr`ete sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique finie ou d´enombrable de mesures de Dirac.
1.2. Lois de Bernoulli
D´
efinition 2. — Soit p È Ö0, 1×. On appelle loi de Bernoulli de param`etre p la loi de probabilit´e discr`ete µ de support Ø0, 1Ù v´erifiant µ Ø0 Ù

1¡p

et

µ Ø1 Ù

p.

2
Soit µ

Lois de probabilit´ e usuelles

Ô1 ¡ pÕδØ0Ù pδØ1Ù . Cette mesure est identifi´ee par la notation BÔ1, pÕ.
Fonction de r´ epartition Loi de Bernoulli
1

1 p 1−p

1−p
0

0

0

1

0

1

Une variable al´eatoire X de loi la loi de Bernoulli de param`etre p È Ö0, 1×