La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est une branche de la logique mathématique et de l'informatique théorique. La formalisation de ces notions a commencé dans la décennie 1930 afin de répondre à des problèmes fondamentaux de logique mathématique. La calculabilité cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculcable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs.

l peut être démontré qu'il existe des fonctions f qui sont incalculables, c’est-à-dire qu'il n'existe aucun algorithme qui, étant donné x, retourne toujours la valeur f(x) en un temps fini.

Plusieurs modèles de calcul sont utilisés en calculabilité :

· machines de Turing
· machine à compteurs
· lambda-calcul

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La calculabilité se rapporte évidemment à la machine créé par Alan Turing, la machine de Turing est un modèle de machine théorique fondamental pour la théorie de la calculabilité-décidabilité et de la complexité. Elle est capable de simuler toute opération réalisable par n'importe quel processeur, aussi puissant soit-il. Elle résume de manière saisissante le concept d'ordinateur et constitue un support idéal pour raisonner autour de la notion d'algorithme.
La thèse Church-Turing postule que tout problème de calcul fondé sur une procédure algorithmique peut être résolu par une machine de Turing. À l'origine, le concept de machine de Turing, inventé avant l'ordinateur, était censé représenter une personne virtuelle exécutant une procédure bien définie, en changeant le contenu des cases d'un tableau infini, en choisissant ce contenu parmi un ensemble fini de symboles. D'autre part, la personne doit mémoriser un état particulier parmi un ensemble fini d'états. La