IUT GEA 2014/2015
Semestre 1

TD n°5 : Math´ ematiques - Corrig´ e Suites
Exercice 1 :
M. X ach`ete par correspondance ` a une soci´et´e qui lui fait un cr´edit de 1800 euros. Le taux mensuel de ce cr´edit est de 2,2%. Chaque mois, M. X doit rembourser 110 euros. Cette somme comprend d’une part les int´erˆets dus pendant le mois et d’autre part un remboursement du cr´edit. a. 2, 2% × 1800 = 39, 6 e sont les int´erˆets dus `a l’issue du premier mois..
b. Pour le premier mois, M. X doit donc rembourser 1800 e plus les 2, 2% de ces 1800 e par une somme de 110 e. Il lui reste donc `a rembourser apr`es le premier versement :
1800 + 2, 2% × 1800 − 110 = 1729, 6 e
On note u0 = 1800 le cr´edit initial et un le montant du cr´edit qu’il reste `a rembourser `a l’issue du nime mois. On pose vn = un − 5000
c.
un+1 = un + 2, 2%un − 110
= un (1 + 0, 022) − 110
= 1, 022un − 110
d.
vn+1 = un+1 − 5000
= 1, 022un − 110 − 5000
= 1, 022un − 5110
= 1, 022(un − 5000)
= 1, 022vn
Donc vn est une suite g´eom´etrique de raison q = 1, 022 et de premier terme v0 = u0 − 5000 = 1800 − 5000 = −3200
.
e. vn est une suite g´eom´etrique donc grˆace au cours on peut ´ecrire : vn = v0 × q n
= −3200 × 1, 022n
1

Et par suite : vn = un − 5000 un = vn + 5000
= −3200 × 1, 022n + 5000
f. On cherche n pour quand un = 900. un = 900 n −3200 × 1, 022 + 5000 = 900
900 − 5000
1, 022n =
−3200
41
1
n = ln( ) × ln(
)
32
1, 022
≈ 11, 39

Donc M.X aura rembours´e la moiti´e de son cr´edit `a partir du 12`eme mois. (Et non pas 11 car pour 11 mois il n’a pas encore atteint la moiti´e !).
Exercice 2 :
En 1990, un pays avait une population de 50 millions d’habitants. Par accroissement naturel, sa population augmente de 1,5% par an. Par ailleurs, on constate une augmentation suppl´ementaire de 450 000 habitants par an, due ` a l’immigration. L’unit´e est le million d’habitants.
On note u0 = 50 le nombre d’habitants en 1990 (exprim´e en millions