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Exercice 1- 9 points
Le but de cet exercice et d’établir , avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier
De fonctions périodiques rencontrées en électricité.
1. Onconsidère un entier naturel n strictement positif . Montrer que :
[pic] et [pic].
2. On considère la fonction[pic]définie sur [pic], périodique de période 2 , telle que :
[pic]a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbe[pic]représentative
de la fonction[pic]sur l’intervalle [pic].
b. On appelle[pic]la série de Fourierassociée à la fonction[pic].
On note [pic].
Calculer [pic].
Donner les valeurs des coefficients [pic]et [pic] et en déduire que :
[pic].
c. Calculer le carréde la valeur efficace de la fonction[pic], défini par : [pic].
d. Recopier et compléter, avec les valeurs exactes, le tableau suivant :

|[pic] |1 |2 |3 ||[pic] | | | |
|[pic] | | | |

e. Donner une valeur approchée à [pic] près du nombre réel A définipar :
[pic]
3. Soit[pic]définie sur [pic], périodique de période 2, dont la courbe représentative[pic]est tracée sur [pic]
dans ledocument réponse n°1.

On admet que le développement en série de Fourier[pic]associé à la fonction[pic], est défini par :
[pic].Justifier que : [pic]
4. Soit [pic]et [pic] les fonctions définies sur[pic], périodiques de période 2, telles que :

[pic] et [pic] pour tout réel [pic].
a. Sur ledocument réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer les courbes [pic]et [pic] représentatives
des fonctions [pic]et [pic] sur [pic].
b. On admet que les développements en séries de Fourier...
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