Chapitre 1 – G´om´trie affine euclidienne dans le plan – e e Exercices
I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard

Exercice 1 → − → → − − Soit C = ( i , j ) la base canonique de P . → − 1. Les syst`mes de vecteurs suivants sont-ils des bases de P ? Si non, en extraire une base e ou la compl´ter pour obtenir une base. e → − → − − → → − − − a) →1 = 2 i + 3 j , →2 = i − j . u u → − → → − − → − → − − b) →1 = 2 i + 3 j , v 2 = −4 i − 6 j . v → → − − − → − → − − → → − − − c) →1 = i + j , →2 = −2 i + 3 j , →3 = i + j . w v w 2. D´terminer les composantes relatives aux bases de la question pr´c´dente des vecteurs e e e suivantes : − − − − − − → = → − 3→, → = 2→ − → , → = −→ + 3→, → = −2→ + 3→ . − − − − w i j r u1 −2 − u s i j v2 w1 v2 Exercice 2 Montrer que R2 , muni des lois internes et externes suivante : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R, est un R-espace vectoriel. Exercice 3∗ D´terminer si R2 , muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un R-espace e vectoriel : 1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb), λ ∈ R. 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ2 a, λ2 b), λ ∈ R. 3. (a, b) + (c, d) = (c, d); λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R. 4. (a, b) + (c, d) = (2a + c, a + b + 2d); λ(a, b) = (λa, 2λb), λ ∈ R. Exercice 4 → → − − Soit P le plan affine euclidien muni du rep`re orthonorm´ directe R = (O, i , j ). Les points e e et les vecteurs sont exprim´s par leur coordonn´es dans R. e e 1. Calculer l’aire des parall´logrammes s’appuyants sur les deux vecteurs suivants : e √ → √ → a) u 1 ( 3, 2) et v 1 (1, 3 3), √ √ → → √ b) u 2 (1, 2) et v 2 ( 2 − 2, 2 + 2). 2. Calculer les angles : √ → √ → a) entre les vecteurs u 1 ( 3, 2) et v 1 (1, 3 3), √ √ → → √ b) entre les vecteurs u 2 (1, 2) et v 2 ( 2 − 2, 2 + 2). 3. Calculer l’aire du triangle de sommets A(−1, 0), B( 1 , 2 1

√

3 2 )

1 et C( 2 , −

√

3 2 ).

4. Calculer les angles du triangle de sommets A(−1, 0), B( 1 , 2

√

3 2 )

1 et C( 2 , −