Macbeth

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  • Publié le : 27 décembre 2010
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Année Scolaire 2009–2010
Lycée Guez De Balzac

MATHÉMATIQUES MPSI
. . DS N˚4

Samedi 05/12/2009 (4h)

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction: les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés .

La calculatrice et les formulaires sontinterdits.

1

Problème 1 − − − → On considère R = (O, →, →, k ) un repère orthonormé direct de l’espace usuel. Pour tout réel m, on ı  considère l’ensemble S m d’équation cartésienne : S m x 2 + y 2 + z 2 − 2mz 2 + m 2 − 2 = 0 On appelle aussi E l’ensemble des points vérifiant l’équation : E x2 + y 2 = z2 + 2 On note enfin P le plan d’équation y = 0, c’est à dire le plan (xOz). Q1) Démontrerque, pour tout réel m, S m est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. Q2) Montrer que l’intersection de P et de E est une conique G, dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles. Q3) Représenter dans le plan P la conique G. Q4) Donner l’excenticité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère R de la conique G. Q5) Pour tout θ ∈ R, on définit la droite (Dθ) ayant pour système d’équations cartésiennes :  x − z cos(θ) = 2 sin(θ) (Dθ ) :  y − z sin(θ) = − 2 cos(θ) Pour tout θ ∈ R, déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (Dθ ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à 1. Q6) Soit θ et m deux réels quelconques. Prouver que la droite (Dθ ) est tangente à la sphère S m . Q7) Montrer que pour tout θ ∈ R,la droite (Dθ ) est incluse dans E . Q8) Réciproquement, montrer que si M est un point de l’ensemble E de coordonnées (x, y, z) dans le repère R, alors il existe un réel θ tel que M appartienne à la droite (Dθ ). Q9) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ? (Mines de sup 2009, épreuve commune, extrait)

Problème 2

Pour n ∈ N, on pose S n =

n ∑ (−1)k , u n = S 2n et v n = S2n+1 . k=0 k!

Partie I : convergence de (S n ) 2

Q1)

a) Montrer que (u n ) et (v n ) sont strictement monotones et que lim u n − v n = 0. Conclusion ? b) En déduire que la suite (S n ) converge vers une limite et que c) Montrer que ∀n ∈ N, |S n − |
1 3 1 < < 2.

1 . (n + 1)! d) À partir de quelle valeur de n est-on sûr que S n est une valeur approchée de à 10−3 près ? Q2) Dans cettequestion, on montre par l’absurde que est irrationnel. On pose = a) Soit n q, montrer que |n!S n − n! | 1 et que n!S n − n! est un entier. n +1 q on a S n = et montrer que ceci est absurde. Partie II : calcul exact de Q1) Montrer que pour x 0 on a 1 − x e −x . 0, on a :
p q

avec p, q ∈ N∗ .

b) En déduire que pour n

Q2) En intégrant l’inégalité 1 − t

e −t sur [0; x], montrer que pour x 1−xe −x 1−x + x2 . 2

Q3) En déduire pour n ∈ N et x

0:
2n+1 (−x)k ∑ k=0

k!

e −x

2n+2 (−x)k ∑ k=0

k!

.

Q4) Montrer que : S 2n+1 en déduire la valeur exacte de .

1 e

S 2n+2

Partie III : généralisation Soit x positif et S n (x) = Q1) Montrer que |S n (x) − e −x |
n→+∞ n ∑ (−x)k . k=0 k!

x n+1 (indication : utiliser la partie II Q3)). (n + 1)! Q2) En déduire que limS n (x) = e −x . Q3) Montrer que pour x ∈ R+ , on a 0 Q4) En déduire que pour n ∈ N, on a : 0 e x − S n (−x) ex x n+1 (n + 1)! ex − 1 xe x .

Q5) Que dire alors de la limite de la suite (S n (−x)) ?

3

MPSI 2009–2010 DS N˚4: Corrigé

Problème 1 Q1) L’équation de S m s’écrit : x 2 + y 2 + (z − m 2)2 = 2 + m 2 , on reconnaît l’équation de la sphère de centre C(0, 0, m 2) et de rayon R = 2+ m 2 . Q2) Un point M(x, y, z) est dans P ∩ E ssi x 2 + y 2 = z 2 + 2 et y = 0, ce qui équivaut à y = 0 et x 2 − z 2 = 2, soit − x2 z2 − → dans le repère (O, →, k ) du plan P : 2 − 2 = 1 avec a = b = 2, on reconnaît l’équation réduite d’une ı a b hyperbole équilatère de centre O, ses asymptotes sont les deux bissectrices du repère. Q3) Dans le plan P : 4 . 3 . 2 . 1 . − . 2 − . 4 − . 3 − . 2 0...
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