Macbeth

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 8 (1855 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 9 novembre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Séries de Fourier
1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On saitque: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x) = F(x) donc F est 1-périodique . ∀x∈[0, 1[, F(x) = x d'où la représentation graphique: > plot(x->x-floor(x),-3..2.9,0..1,discont=true);

Note: → → →

F est continue par morceaux sur IR (et même C∞) par morceaux sur IR mais F n'est pas continue sur IR. T = 1 donc ω = 2π = 2π. T 1 1 1 a0 = ⌠t.dt = ⌡0 1 2 Deux intégrations par parties donnent:

b-)

 an = 2⌠0 t.cos(2πnt).dt = 0  1⌡  2⌠ 1 1  bn = 1⌡0 t.sin(2πnt).dt = – nπ 
1

d'où S(f )(x) = c-)

1 1 – ∑  × sin(2nπx) .   2 n ≥ 1 nπ 

Z. La fonction F est C1 par morceaux sur IR, discontinue aux points d'abscisses n∈Z Le théorème de Dirichlet permet donc d'affirmer que la série de Fourier de F converge sur IR versla fonction réglée de F. 1 Donc: si x∉Z alors S(f )(x) = F(x) sinon S(f )(x) = . Z 2 L'égalité de Parseval s'écrit: d'où 1 1 1 1 1 1 + = ⌠ t2.dt = . 3 4 2 n∑1 n2π2 1 ⌡0 ≥

d-)

1 1 1 1 1 et 2× ∑ 2= – = 2π n ≥ 1 n 3 4 12

∑ n2 = 6 n≥1

1

π2

Corrigé des exercices sur les séries de Fourier --*-- Page 1

2-)

Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction f définiesur I R par f(x) = Arcsin(sinx) et étudier la convergence de la série ainsi obtenue. –––––––––––––––– 2π   → f est définie sur IR, continue et 2π-périodique donc ω = = 1. T   Par ailleurs, f est impaire donc on peut restreindre son étude à [0, π]. →  π π  ∀x∈0,  , Arcsin(sinx) = x et ∀x∈ , π , Arcsin(sinx) = π – x  2 2  ce qui donne une fonction affine par morceaux. >plot(arcsin(sin(x)),x=-2*Pi..2*Pi);



→ →

f est impaire donc: ∀n∈IN, bn =

∀n∈IN, an = 0 .

π 2 ⌠ π/2 t.sin(nt).dt + ⌠ (π – t).sin(nt).dt ⌡π/2 π ⌡0  Deux intégrations par parties donnent: 2  t.cos(nt) π/2 sin(nt) π/2 (π – t).cos(nt) π sin(nt) π  bn =  –  +  2  –  –  2        n π   n 0  n 0   π/2  n  π/2  π 4.sinn  4(-1)p  2 bn = donc si n est pair alors bn= 0 et si n = 2p + 1 alors b2p+1 = . 2 n .π π(2p + 1)2

Finalement:

S(f )(x) =

4(-1)p ∑ π(2p + 1)2 × sin[(2p + 1)x] . p≥0

Comme f est C1 par morceaux et continue sur IR, le théorème de Dirichlet permet de conclure: ∀x∈IR, 4 (-1)p.sin[(2p + 1)x] = Arcsin(sinx) . ∑ (2p + 1)2 π p≥0

Corrigé des exercices sur les séries de Fourier --*-- Page 2

3-)

On considère la fonction2π-périodique définie sur [0, 2π[ par f(x) = x2. π π ∞ a-) Justifier que f est C par morceaux sur I R. b-) Calculer le développement en série de Fourier de f. c-) Etudier la convergence de la série ainsi obtenue. 1 (-1)n 1 d-) En déduire les valeurs des sommes ∑ 2 , ∑ 2 et ∑ . n n≥1 n (2n + 1)2 n≥1 n≥0 e-) a-) A l'aide de l'égalité de Parseval, calculer

∑ n4. n≥1


1

—————————— La fonction fcoïncide sur ]0, 2π[ avec la fonction g: x∈[0, 2π] → x2. Comme g est C ∞ sur [0, 2π], la restriction de f à ]0, 2π[ est prolongeable par continuité en une fonction C ∞ sur [0, 2π]. f étant 2π-périodique, f est C ∞ par morceaux sur IR. → Ne pas dire que f est paire !!! > f:=x->(x-floor(x/(2*Pi))*2*Pi)^2;
1 x   f := x →  x − 2 floor   2 π  π      
2

b-)

>plot(f,-14..14,discont=true);

→ →

1 ⌠ 2π 2 4π2 t .dt = . 3 2π ⌡0 2π T = 2π donc ω = =1 T 1 2π 4 1 2π 4π ∀n∈IN*, an(f ) = ⌠ t2.cos(nt).dt = 2 (deux IPP) et bn(f ) = ⌠ t2.sin(nt).dt = – . n n π⌡0 π⌡0 a0(f ) = 4π2 4 4π a0(f ) = et ∀n∈IN*, an(f ) = 2 et bn(f ) = – 3 n n S(f )(x) = 4π2 4 4π + ∑ 2 cos(nx) – sin(nx) . 3 n n n≥1

D'où donc

c-)

Les points de discontinuité de f sont les points d'abscisses 2kπ...
tracking img