Séries de Fourier
1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On sait que: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x) = F(x) donc F est 1-périodique . ∀x∈[0, 1[, F(x) = x d'où la représentation graphique: > plot(x->x-floor(x),-3..2.9,0..1,discont=true);

Note: → → →

F est continue par morceaux sur IR (et même C∞) par morceaux sur IR mais F n'est pas continue sur IR. T = 1 donc ω = 2π = 2π. T 1 1 1 a0 = ⌠ t.dt = ⌡0 1 2 Deux intégrations par parties donnent:

b-)

 an = 2⌠0 t.cos(2πnt).dt = 0  1⌡  2⌠ 1 1  bn = 1⌡0 t.sin(2πnt).dt = – nπ 
1

d'où S(f )(x) = c-)

1 1 – ∑  × sin(2nπx) .   2 n ≥ 1 nπ 

Z. La fonction F est C1 par morceaux sur IR, discontinue aux points d'abscisses n∈Z Le théorème de Dirichlet permet donc d'affirmer que la série de Fourier de F converge sur IR vers la fonction réglée de F. 1 Donc: si x∉Z alors S(f )(x) = F(x) sinon S(f )(x) = . Z 2 L'égalité de Parseval s'écrit: d'où 1 1 1 1 1 1 + = ⌠ t2.dt = . 3 4 2 n∑1 n2π2 1 ⌡0 ≥

d-)

1 1 1 1 1 et 2× ∑ 2= – = 2π n ≥ 1 n 3 4 12

∑ n2 = 6 n≥1

1

π2

Corrigé des exercices sur les séries de Fourier --*-- Page 1

2-)

Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction f définie sur I R par f(x) = Arcsin(sinx) et étudier la convergence de la série ainsi obtenue. –––––––––––––––– 2π   → f est définie sur IR, continue et 2π-périodique donc ω = = 1. T   Par ailleurs, f est impaire donc on peut restreindre son étude à [0, π]. →  π π  ∀x∈0,  , Arcsin(sinx) = x et ∀x∈ , π , Arcsin(sinx) = π – x  2 2  ce qui donne une fonction affine par morceaux. >