Magnetostatique

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  • Publié le : 21 décembre 2010
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ÉM.V - CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE

Densité de courant

• On se limite ici aux champs magnétostatiques créés par des courants permanents (pour des circuits immobiles parcourus par des courants continus).

• De même qu’on décrit la répartition des charges par une “densité volumique de charge” : ρ = [pic], on peut décrire la “répartition” du courant à travers la section d’un conducteur par une“densité de courant” : [pic] = [pic] telle que le courant à travers la section d’un conducteur soit : I = [pic].

◊ remarque : on ajoute constructivement les contributions des porteurs de charge positifs et négatifs.

• On se limite ici à l’étude de circuits “filiformes” (on ignore la répartition du courant, donc l'étude est moins approfondie que celle de l’électrostatique).

Loi de Biot etSavart pour un circuit filiforme

• Pour un circuit (fermé) filiforme orienté C, parcouru par un courant I constant (on oriente le circuit dans le sens du courant), le champ magnétique créé en un point M peut s’écrire (loi de Biot et Savart) : [pic] = [pic]
avec : [pic] = [pic] “élément infinitésimal du circuit” ; r = PM ; [pic] = [pic] ;
μ0 = [pic] = 4π.10-7 H.m-1 “perméabilitémagnétique du vide”.

• À cause du produit vectoriel, la contribution [pic] = [pic] à l’intégrale est orthoradiale (la contribution analogue en électrostatique est radiale).
[pic]

De ce fait, le champ magnétique [pic] est un “pseudo-vecteur” ; c’est-à-dire que, pour une symétrie plane, il est transformé en l’opposé de son “symétrique” géométrique (de même qu’un “vecteur surface” [pic]).Application au calcul du champ magnétique

1 Fil rectiligne “infini”

• En plus du problème de “l’infini”, un fil rectiligne infini n’est pas un circuit (fermé) ; a priori, on ne peut donc pas lui appliquer la loi de Biot et Savart.

En réalité, le modèle du fil rectiligne infini représente une portion rectiligne d’un circuit dont on limite l’étude à de faibles distances, de telle sorte que le“reste” (non rectiligne) du circuit ait un effet négligeable.

• Pour un tel modèle, l’invariance par rotation autour de l’axe, et par translation selon l’axe, conduit à utiliser des coordonnées cylindriques.

L’expression algébrique des coordonnées du champ en un point M ne peut alors dépendre que de la distance R entre le fil et le point M.

En outre, puisque chaque contribution :
[pic] =[pic] = [pic] cos(α) [pic]
est perpendiculaire au plan défini par le fil et M, alors il en est de même pour [pic] total.

On peut ainsi écrire en coordonnées cylindriques : [pic] = Bθ(R) [pic].

Les lignes de champ sont donc des cercles perpendiculaires au fil et centrés sur lui ; elles sont orientées dans le sens de rotation positif par rapport au sens du courant.

◊ remarque : le fil et Msont invariants par symétrie selon le plan qu'ils définissent, donc [pic] doit l’être aussi ; ainsi [pic] A BR [pic] + Bθ [pic] + Bz [pic] (pseudovecteur représenté par un vecteur) est identique à l’opposé du vecteur symétrique : [pic] = S([pic]) A -S(BR [pic] + Bθ [pic] + Bz [pic]) = - BR [pic] + Bθ [pic] - Bz [pic] ; on peut conclure que BR et Bz doivent être nulles.

• En intégrant :dBθ = [pic] = [pic] [pic]
avec : r = [pic] ; cos(α) = [pic] ; z = R tan(α) ; dl = dz ;
on obtient : Bθ = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic].

2 Spire circulaire (champ sur l’axe)

• On cherche le champ [pic] d’une spire circulaire de rayon R et d’axe Ox, en se limitant aux points de l’axe.

Sur l’axe, le champ est selon Ox (dans le sens axial positif par rapport au sens de rotation ducourant) : [pic] = Bx [pic].

En effet, les contributions
[pic] = [pic]
de deux éléments [pic] et [pic] symétriques ont des projections qui se compensent dans les directions perpendiculaires à Ox.

• En intégrant : dBx = [pic] cos(α) avec : r = [pic], cos(α) = [pic] et dl = R dθ, on obtient : Bx = [pic].

[pic]

◊ remarque : pour une bobine plate constituée de N...
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