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MP 08/09 – Corrigé du D.M. de PHYSIQUE n°9 1er problème
A- Potentiel au voisinage du bord d’un conducteur mince 1. E = −grad V donc : E r = −
∂V 1 ∂V 1 ∂V = − f ' ( r ) g (θ) , E θ = − = − f ( r ) g ' (θ) , E z = − = 0. ∂r r ∂θ r ∂z

Dans l’espace autour du conducteur qui est vide de charge, l’équation de Maxwell-Gauss s’écrit : divE = ρ = 0 soit (en utilisant l’expression de la divergence en coordonnées cylindriques fournie par ε0

l’énoncé) : f " (r ) g (θ) + deuxième expression.

r 2 f " (r ) + rf ' (r ) g " (θ) 1 1 =− =K. f ' (r ) g (θ) + 2 f (r ) g" (θ) = 0 , soit : f (r ) g (θ) r r K est une constante puisqu’elle ne dépend ni de θ (d’après sa première expression), ni de r d’après sa

2. Le potentiel est continu, et il vaut V0 sur la plaque, donc g (0) = g (2 π) = 0 . • Si K < 0 , g(θ) est de la forme g (θ) = A exp( − − K θ) + B exp( − K θ) , où A et B sont des constantes. La condition g (0) = g (2 π) = 0 s’écrit :

RA + B = 0 S A exp(− − K 2π) + B exp( | T

− K 2 π) = 0

,

• •

système de Cramer dont la seule solution est A = B = 0 . IL vient nécessairement g(θ) = 0 , solution sans intérêt physique. Si K = 0 , g (θ) = Aθ + B et la condition g (0) = g (2 π) = 0 entraîne de même que g(θ) = 0 . Donc nécessairement K > 0 . Alors , g (θ) = A cos( K θ) + B sin( K θ) . La condition g (0) = g (2 π) = 0 s’écrit : A = 0 et B sin(2 K π) = 0 . Ceci entraîne (pour avoir une solution non nulle) que : n 2 K= n , où 2

n est un entier relatif. Alors : g (θ) = B sin( θ). Pour que V ne prenne la valeur V0 que sur le demi-plan conducteur, il faut que g(θ) ne s’annule pas sur ]0,2π[ , ce qui est le cas seulement pour n = 1 . Conclusion : K =
1 θ et g(θ) = constante × sin( ) . 4 2 1 f (r ) = 0 . Injectons dans cette équation différentielle une solution de la 4 1 1 = 0 soit t = ± . 4 2

3. On a donc : r 2 f " (r ) + rf ' (r ) − forme : f (r ) = r t , il vient :

t (t − 1) + t −

On a trouvé deux solutions de l’équation différentielle