Maherlahlouh

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 6 (1444 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 5 décembre 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD

Enoncés Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02776 ] [correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 .

1

Continuité et topologie
Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U= (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R).

Exercice 3 [ 01125 ] [correction] Soit E un espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble (x, y) ∈ E 2 /(x, y) libre est un ouvert de E 2 .

Exercice 4 [ 01126 ] [correction] Pour p ∈ {0, 1, . . . , n}, on note Rp l’ensemble des matrices de Mn(K) de rang supérieur à p. Montrer que Rp est un ouvert de Mn (K).

Exercice 5 [ 01127 ] [correction] Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f : E → F . Montrer qu’il y a équivalence entre les assertions suivantes : (i) f est continue, ¯ (ii) ∀A ∈ P(E), f (A) ⊂ f (A), ¯ (iii) ∀B ∈ P(F ), f −1 (B) ⊂ f −1 (B), ◦ (iv) ∀B ∈ P(F ), f −1 (B ◦ ) ⊂ f −1 (B) .

Exercice 6 [ 01128 ][correction] Montrer qu’un endomorphisme u d’un espace vectoriel normé E est continue si, et seulement si, {x ∈ E/ u(x) = 1} est fermé.

Exercice 7 Centrale MP - Mines-Ponts MP [ 01129 ] [correction] Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.

Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02774 ] [correction] a) Chercher les fonctions f : [0, 1] → [0, 1] continues telles que f ◦ f= f . b) Idem avec dérivable

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD

Corrections a ∈ f −1 (B(f (a), ε)) . Par conséquent, il existe α > 0 tel que B(a, α) ⊂ f −1 (B(f (a), ε)). Ainsi nous obtenons ∀a ∈ E, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ E, x ∈ B(a, α) ⇒ f (x) ∈ B(f (a), ε) ce qui correspond à la continuité de f .


2

Corrections
Exercice 1 : [énoncé] La fonction f : (x, y) → x3 + y 3 − x2 − y 2 estcontinue sur R2 et U = f −1 (]0, +∞[) est un ouvert relatif de R2 car image réciproque d’un ouvert par une fonction continue. Or un ouvert relatif à R2 est un ouvert de R2 . Exercice 2 : [énoncé] L’application det : Mn (R) → R est polynomiale en les coefficients matriciels, elle est donc continue. Puisque GLn (R) est l’image réciproque de l’ouvert R par cette application continue, GLn (R) est unouvert relatif à Mn (R), c’est donc un ouvert de Mn (R). Exercice 3 : [énoncé] Par le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz : (x, y) est libre ⇔ |(x | y)| < x y . Considérons : f : E 2 → R définie par f (x, y) = x y − (x | y). (x, y) ∈ E 2 /(x, y) libre = f −1 (]0, +∞[) est un ouvert car image réciproque d’un ouvert par une fonction continue.

Exercice 6 : [énoncé] Si u est continue alorsA = {x ∈ E/ u(x) = 1} = f −1 ({1}) est l’image réciproque du fermé {1} par l’application continue f = . ◦ u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c’est donc une partie fermée. Inversement, si u n’est pas continue alors l’application u n’est par bornée sur {x ∈ E/ x = 1}. Cela permet de construire une suite (xn ) ∈ E N vérifiant xn = 1 et u(xn ) > n. 1 En posant yn = u(xn ) xn , on obtientune suite (yn ) ∈ AN vérifiant yn → 0. Or 0 ∈ A. donc la partie A n’est pas fermée. /

Exercice 4 : [énoncé] Soit A ∈ Rp . La matrice A possède un déterminant extrait non nul d’ordre p. Par continuité du déterminant, au voisinage de A, toute matrice à ce même déterminant extrait non nul et est donc de rang supérieur à p. Ainsi la matriceA est intérieure à Rp . Exercice 5 : [énoncé] ¯ (i) ⇒ (ii)Supposons f continue et introduisons A ⊂ E. Tout élément y de f (A) est l’image par f de la limite x d’une suite convergente (xn ) d’éléments de A. Or f étant continue, f (xn ) → y et donc y est limite d’une suite d’élément de f (A). ¯ Ainsi f (A) ⊂ f (A). (ii) ⇒ (iii) Supposons (ii) et introduisons B ⊂ F . Pour A = f −1 (B), on a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (A) ⊂ f (A) ⊂ B donc A ⊂ f −1 (B) c’est à dire f −1 (B)...
tracking img