NOTES DU COURS DE MATHS 3
CHRISTIAN LÉONARD

1. Rappels sur les espaces vectoriels
Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2.
1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments
−
→ x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies de l’ensemble R des nombres réels : Rn =
→
R × · · · × R . On appelle − x un vecteur et xi ∈ R est sa ième coordonnée. On munit n fois

→ l’ensemble Rn des opérations suivantes. Pour tous vecteurs − x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
−
→ n y = (y1 , . . . , yn ) ∈ R et tout λ ∈ R, on définit la multiplication externe par
→
λ− x = (λx1 , . . . , λxn ) ∈ Rn et l’addition par
−
→
→
x +− y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
Le signe = (égale surmonté de la lettre delta) signifie que l’égalité correspond à une définition. Nous le rencontrerons de temps en temps dans ce cours. Dans l’écriture
→
λ− x de la multiplication externe, le signe multiplié n’est pas écrit explicitement, tout comme dans la multiplication habituelle des nombres réels que nous retrouvons dans
→
→ λx1 , . . . , λxn . Dans l’écriture − x +− y , le signe + correspond à une addition de vecteurs, mais on utilise la même notation que pour l’addition des nombres réels que nous retrouvons dans l’addition terme à terme des coordonnées : x1 + y1 , . . . , xn + yn .
→
La base canonique de Rn est l’ensemble des vecteurs − e1 , . . . , − e→ n où
−
→
→
−
−
→ e = (1, 0, . . . , 0), e = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e = (0, . . . , 0, 1).
1

2

n

Date: 2004.
1

2

CHRISTIAN LÉONARD

→
Nous noterons donc − ei le vecteur constitué de n − 1 zéros et d’un unique 1 placé en ème i coordonnée. −
Nous pouvons ainsi écrire notre vecteur → x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn