Leçon N° 3 : La programmation linéaire
En premier, il faut savoir résoudre graphiquement une inéquation linéaire à deux inconnues dans un repère du plan (P). Voyons un exemple : Chercher les réels x et y tels que 2x – y + 4 ≥ 0 Méthode : nous traçons la droite d’équation 2x – y + 4 = 0 en prenant deux valeurs simples de x. X y 0 4 1 6 y 5 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3 -4

1

2

3

4

x

Ensuite, nous avons le théorème suivant (très important) : Toute droite du plan (P) d’équation ax+by+c = 0 partage le plan en deux régions dans lesquelles ax+by+c garde le même signe. En d’autres termes, il y a un demi plan où ax+by+c est toujours positif et un autre où ax+by+c est toujours négatif. Nous testons donc avec un point quelconque, par exemple O(0 ;0) 2(0) – 0 + 4 = 4 ≥ 0 donc nous gardons la région contenant O et nous hachurons l’autre côté.

La solution de l’inéquation donnée est : les coordonnées des points de la région non hachurée y compris les points de la droite (appelée frontière) car ici, nous avons le signe ≥. Pour vous entraîner, voici trois petits exercices : a) Chercher les réels x et y tels que x ≥ 1 b) Chercher les réels x et y tels que y ≥ 0 c) Chercher les réels x et y tels que x ≥ y Nous pouvons ensuite envisager de traitre des systèmes d’inéquations : Chercher les réels x et y tels que : x≥1 y≥0 x≥y (L’accolade remplace le mot « et », c’est-à-dire que toutes ces conditions doivent être réalisées en même temps)

Solutions a) Nous utilisons la droite d’équation x = 1 c’est-à-dire une verticale. Prenons le point O(0 ;0) pour tester,