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§ 2 Dérivées partielles ü Définition de la dérivée partielle
La dérivée partielle de la fonction f par rapport à x en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle x # f Hx, yL
où
y est constant
Elle est notée
∂f Hx, yL
∂f ou ∂x
∂x
Hx, yL
∂ ou ∂x
f Hx, yL
ou
∂x f Hx, yL
En d'autres termes
∂ f Hx, yL
∂x
f Hx + ∆x, yL − f Hx, yL
= lim
∆x
∆x→0
Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonction f n'est pas partiellement dérivable par rapport à x en (x, y).
Dans le contexte des fonctions de plusieurs variables, l'adjectif partiel signifie par rapport à une seule variable, les autres arguments étant constants.
D'une manière analogue, la dérivée partielle de la fonction f par rapport à y en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle y # f Hx, yL
où
x est constant
Elle est notée
∂f Hx, yL
∂f ou ∂y
∂y
Hx, yL
∂ ou ∂y
f Hx, yL
ou
∂y f Hx, yL
En d'autres termes
∂ f Hx, yL
∂y
f Hx, y + ∆yL − f Hx, yL
= lim
∆y
∆y→0
Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonction f n'est pas partiellement dérivable par rapport à y en (x, y).
La définition s'étend naturellement aux fonctions de trois variables ou plus. Ainsi, la dérivée partielle de la fonction f par rapport à z en (x, y, z) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle z # f Hx, y, zL
où
x et y sont constants
Elle est notée
∂f Hx, y, zL
∂f ou ∂z
∂z
Hx, y, zL
∂ ou ∂z
f Hx, y, zL
En d'autres termes
∂ f Hx, y, zL
∂z
= lim
∆z→0
ü Exemples (calculs à la main)
Soit f Hx, yL =
x2
.
y
Alors,
f Hx, y, z + ∆zL − f Hx, y, zL
∆z
ou ∂z f Hx, y, zL
2_DERIVEES_PARTIELLES.nb
∂
x2
∂x
y
∂
x2
∂y
=
1
17
∂
y ∂x
∂
= x2
y
∂y
Ix2 M =
1
1 y H2 xL =
∂
= x2
y
∂y
2x y Iy −1 M = x2 H− 1L y −2 = −