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1054 mots 5 pages
2_DERIVEES_PARTIELLES.nb

16

§ 2 Dérivées partielles ü Définition de la dérivée partielle
La dérivée partielle de la fonction f par rapport à x en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle x # f Hx, yL



y est constant

Elle est notée
∂f Hx, yL

∂f ou ∂x

∂x

Hx, yL

∂ ou ∂x

f Hx, yL

ou

∂x f Hx, yL

En d'autres termes
∂ f Hx, yL
∂x

f Hx + ∆x, yL − f Hx, yL

= lim

∆x

∆x→0

Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonction f n'est pas partiellement dérivable par rapport à x en (x, y).
Dans le contexte des fonctions de plusieurs variables, l'adjectif partiel signifie par rapport à une seule variable, les autres arguments étant constants.
D'une manière analogue, la dérivée partielle de la fonction f par rapport à y en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle y # f Hx, yL



x est constant

Elle est notée
∂f Hx, yL

∂f ou ∂y

∂y

Hx, yL

∂ ou ∂y

f Hx, yL

ou

∂y f Hx, yL

En d'autres termes
∂ f Hx, yL
∂y

f Hx, y + ∆yL − f Hx, yL

= lim

∆y

∆y→0

Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonction f n'est pas partiellement dérivable par rapport à y en (x, y).
La définition s'étend naturellement aux fonctions de trois variables ou plus. Ainsi, la dérivée partielle de la fonction f par rapport à z en (x, y, z) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle z # f Hx, y, zL



x et y sont constants

Elle est notée
∂f Hx, y, zL

∂f ou ∂z

∂z

Hx, y, zL

∂ ou ∂z

f Hx, y, zL

En d'autres termes
∂ f Hx, y, zL
∂z

= lim
∆z→0

ü Exemples (calculs à la main)
Soit f Hx, yL =

x2
.
y

Alors,

f Hx, y, z + ∆zL − f Hx, y, zL
∆z

ou ∂z f Hx, y, zL

2_DERIVEES_PARTIELLES.nb


x2

∂x

y



x2

∂y

=

1

17


y ∂x

= x2

y

∂y

Ix2 M =
1

1 y H2 xL =


= x2

y

∂y

2x y Iy −1 M = x2 H− 1L y −2 = −

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