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  • Publié le : 10 octobre 2010
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Echantillonnage

Module 1 – Variables et lois d’échantillonnage

Introduction générale

La notion de base en statistique est celle de population : ensemble d’individus (ou objets ou unités statistiques) pouvant être décrits par un ensemble de variables (ou propriétés ou caractéristiques) communes. La variabilité d’une population signifie que les variables décrivant les individus peuventprendre des valeurs différentes d’un individu à l’autre. L’analyse statistique est l’étude de cette variabilité. Souvent, il est matériellement impossible d’étudier tous les individus d’une population. Si l’on se limite à une partie de la population, on fait un sondage; la partie étudiée s’appelle un échantillon. Afin d’assurer la représentativité de l’échantillon, celui-ci est la plupart du tempstiré au hasard dans la population. La théorie de l’échantillonnage nous permet de passer des caractéristiques de la population aux caractéristiques d’un échantillon représentatif. Schéma récapitulatif Population P Echantillonnage Echantillon E (représentatif de la population) n individus X : variable aléatoire recensement exhaustif loi statistique caractérisée par: Moyenne : m Variance : σ²Proportion : P estimation X i ≡ X ∀i sondage loi statistique caractérisée par: Moyenne : X Variance : S² Proportion : F Intervalles de confiance

N individus X : variable aléatoire

On distingue deux cas :



On connaît la population c’est à dire sa loi avec ses caractéristiques (moyenne, variance) et on cherche des renseignements sur un échantillon de n individus (loi, moyenne, variance, avecquels intervalles de confiance?). ⇒ c’est un problème d échantillonnage : déduction. On connaît l’échantillon c’est à dire sa loi avec ses caractéristiques (moyenne, variance) et on veut estimer la population toute entière (loi, moyenne, variance, avec quels intervalles de confiance?). ⇒ c’est un problème d’estimation : induction.



© Campus Numérique, 2008

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EchantillonnageModule 1 – Variables et lois d’échantillonnage

MODULE 1 : Variables et lois d’échantillonnage
Les lois d’échantillonnage et les variables d’échantillonnage définies dans ce module 1 vont nous servir dans les modules 3 et 4 pour établir les intervalles de confiance (c’est à dire encadrer les paramètres inconnus d’une population : moyenne, variance, proportion) et faire des tests d’hypothèse (c’est àdire tester les paramètres d’une population à partir des données d’échantillonnage).

M1Unité 1 : Définitions
Soit X, une variable aléatoire qui représente la population. Elle est caractérisée par la densité de probabilité f(x), dans le cas d’une variable aléatoire continue, ou par sa probabilité élémentaire p(x), dans le cas d’une variable aléatoire discrète.

• On appelle échantillon detaille n issu de X, ou n-échantillon de X, le vecteur aléatoire (X1, X 2 ,...X i K, Xn ) où X i ≡ X ∀i ( X i suit la même loi que X) et X i , X j indépendants ∀i ≠ j . L’échantillon est dit IID c'est-à-dire identiquement indépendamment distribué.
On parle dans ce cas d’échantillon théorique aléatoire probabilisé.

• L’ensemble de n valeurs images indépendantes de X est constitué de n images del’épreuve associée à X indépendantes (x 1, x 2 , K, x n ) . Ainsi, x i est l’image obtenue à la ième répétition de l’épreuve. Cet ensemble est l’image de la variable aléatoire (X1, X 2 , K, X n ) . On parle ici d’échantillon empirique ou observé.
Soit (X1, X 2 , K, X n ) un échantillon théorique. Convergence de la fonction de répartition d’un échantillon.

(x 1, x 2 ,K, x n ) un échantillonempirique.

x1 < x 2 < L < x n On va noter F’(x) la fonction de répartition empirique ou fonction des fréquences cumulées. F(x)=Prob(X≤x) est la fonction de répartition théorique ou encore c’est la probabilité de l’événement “X≤x” F’(x)=
xi ≤ x

∑ fi

F’(x) converge en probabilité vers F(x) : F’(x) → F( x )
Définition de la vraisemblance d’un échantillon

P

• Cas discret :

Soit (X1,...
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