Markowitz

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Théorie Moderne du Portefeuille

Octobre 2007

Plan
Le modèle de Markowitz Allocation d’actifs Le modèle d’équilibre des actifs financiers (CAPM) Mesures de performance d’un portefeuille d’actions Couverture du risque systématique Gestion active & Gestion passive

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Markowitz (1)
Le couple rendement-risque
En matière financière, les investisseurs cherchent à réaliser lemeilleur compromis possible entre le rendement espéré et le risque correspondant

Critère de Markowitz
Entre deux investissements possédant le même rendement espéré, l’investisseur préfèrera celui qui est le moins risqué. Entre deux investissements de même risque, l’investisseur préfèrera celui dont le rendement espéré est le plus grand.

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Markowitz (2)
Plan de Markowitz
On représente lerendement espéré en ordonnée et le risque en abscisse

Rendement

Risque

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Markowitz (3)
Comparaisons dans le plan de Markowitz
Un investissement X domine un investissement Y si: le rendement espéré de X est strictement supérieur à celui de Y et le risque de X est inférieur ou égal à celui de Y ou bien le rendement espéré de X est supérieur ou égal à celui de Y et le risque de Xest strictement inférieur à celui de Y

Rendement

I IV

II III
Risque

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Markowitz (4)
Efficience
Un investissement est dit efficient s’il n’est pas dominé par un autre Frontière efficiente: lieu des investissements efficients dans le plan de Markowitz
Rendement

Risque

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Markowitz (5)
Approche moyenne-variance
On fixe un horizon de temps, par exemple sixmois ou dix ans Le rendement d’un investissement sur la période fixée est modélisé par une variable aléatoire. Le rendement espéré de l’investissement est l’espérance mathématique de la variable aléatoire. Le risque de l’investissement est mesuré par la variance de la variable aléatoire

Alternatives
Semi-variance Value-at-risk …

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Markowitz (6)
Illustration

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Allocationd’actifs (1)
Portefeuille
Un portefeuille est un ensemble de titres financiers, avec une pondération pour chaque titre. Les pondérations peuvent être négatives ou positives, mais on exige que leur somme soit 1.

Questions fondamentales
Quels titres faut-il mettre dans un portefeuille? Comment de titres financiers faut-il mettre dans un portefeuille? Comment allouer la richesse de façon optimaleentre n actifs financiers donnés?

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Allocation d’actifs (2)
La diversification
C’est répartir son investissement sur plusieurs titres dans le but d’en réduire le risque Adage populaire: Ne pas mettre tous ses œufs dans un même panier Mark Twain: « Put all your eggs in the same basket and watch it! »

Exemple intuitif
Portefeuille équipondéré

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Allocation d’actifs (3)Effet de diversification
Un portefeuille équipondéré de N titres financiers On suppose que les titres ont la même variance (0.25*0.25) et que les corrélations sont identiques (0.20)

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Allocation d’actifs (4)
Portefeuille de deux titres risqués
Paramètres

Rendement espéré du portefeuille

μ = x1 ⋅ μ1 + x2 ⋅ μ 2

Risque du portefeuille

2 2 σ 2 = x12 ⋅ σ 12 + x2 ⋅ σ 2 + 2 ⋅x1 ⋅ x2 ⋅ ρ ⋅ σ 1 ⋅ σ 2

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Allocation d’actifs (5)
Illustration

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Allocation d’actifs (6)
Portefeuille avec plus de deux titres risqués
On estime les rentabilités espérées des différents actifs et leur variance On estime les différentes corrélations Pour une rentabilité espérée de portefeuille fixée, le portefeuille efficient correspondant s’obtient en résolvant leproblème d’optimisation suivant: Trouver le portefeuille de variance minimale parmi ceux qui ont la rentabilité espérée fixée Ce problème peut être résolu à l’aide du solveur d’Excel

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CAPM (1)
Problème
Comment quantifier la relation entre le risque et la rentabilité? Intuition: pour plus de profit, il faut prendre plus de risque

CAPM (Capital Asset Pricing Model)
Propose une...
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