Matematicos

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matAut o u r d e s fo n ct i on s c irc u la ire s e t d e s n om b re s com pl ex e s

487 π π 1 ) = sin( + π) = − . D’o` α = 23π . u 6 6 2 π 835 π ) = tan(− ). D’o` β = − π , puisque − π ∈] − π , π [. u – On a tan( 4 4 2 2 4 4 683 π π – On a sin(− ) = sin( ). D’o` γ = π puisque π ∈ [− π , π ]. u 3 3 2 2 3 3 2. Le syst`me a r´soudre est ´quivalent au syst`me lin´aire d’inconnues x et y e ` e ee e 1. – On a sin( (3 x + 2 y) ln 2 = ln 5 2 x ln 4 = (2 y + 3) ln 2 qui se r´´crit : ee (2 ln 4) x + (2 ln 2) y (3 ln 2) x − ( 2 ln 2) y (2 ln 4) x + (2 ln 2) y (7 ln 2) x On trouve comme unique solution le couple ln (40) ln 625 512 , 7 ln (2) 14 ln (2) . = 3 ln 2 = ln 5

Rajoutons a la seconde ´quation la premi`re. Il vient : ` e e = 3 ln 2 = ln 40

1. f est la compos´e de arctan et gdonn´e par g(t) = e e f = arctan ◦f.

Cette derni`re fonction est d´finie d`s lors que 1 − cos(t) = 0, c’est-`-dire pour t ∈ 2πZ. e e e a Puisque arctan est d´finie sur R, le domaine de d´finition de f est celui de g : e e R \ 2πZ. La fonction g est le quotient de deux fonctions d´rivables sur R : elle est donc d´rivable e e sur R \ 2πZ. De son cˆt´, arctan est d´rivable sur R. Il en r´sulte que f est lacompos´e de oe e e e 1

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Exercices d’application du cours ´ Exercice 2 — Etude de fonction.
sin(t) 1−cos(t)

:

deux fonctions d´rivables sur leur domaine de d´finition, donc f est d´rivable sur R \ 2πZ e e e comme compos´e de fonctions d´rivables. e e 2. La fonction f est p´riodique de p´riode 2 π : e e –si t ∈ R \ 2πZ, alors t + 2 π ´galement ; e sin(t) sin(t+2 π) – f (t + 2 π) = arctan( 1−cos(t+2 π) ) = arctan( 1−cos(t) ) = f (t) pour tout t ∈ R \ 2πZ. On peut donc restreindre l’´tude de f a [−π, 0[∪]0, π]. e ` Par ailleurs la fonction f est impaire : – si t ∈ R \ 2πZ, alors −t ´galement ; e sin(t) sin(−t) – f (−t) = arctan( 1−cos(−t) ) = arctan(− 1−cos(t) ) = −f (t) pour tout t ∈ R \ 2πZ. Onpeut donc restreindre l’´tude de f a ]0, π]. e ` 3. limite en 0 par valeurs sup´rieures. e Pour t > 0, g(t) peut s’´crire sous la forme : e g(t) = De plus, on a pour t > 0 : sin t t . t 1 − cos(t)

sin t sin t > 0 et lim = 1; t→0+ t t t t > 0 et lim = 0. t→0+ 1 − cos(t) 1 − cos(t)

D’o` lim g(t) = +∞. u
t→0+

Par composition des limites, il en r´sulte que : e
t→0+

lim f (t) =

π . 2limite en π par valeurs inf´rieures. e La fonction f est d´finie et d´rivable en π (donc continue en π). D’o` : e e u
t→π−

lim = f (π) = 0.

4. La fonction f est d´rivable sur ]0, π] et pour t ∈]0, π], e f (t) = = = =
cos t(1−cos t)−(sin t)2 (1−cos t)2 sin t arctan ( 1−cos t ) cos t−1 1 (1−cos t)2 1+ (sin t)2 (1−cos(t))2
2 cos t−1 (1−cos t) (1−cos t)2 2−2 cos t −1 2

5. On d´duit des deuxquestions pr´c´dentes que e e e ∀t ∈]0, π], f (t) = 2 π−t . 2

6. Le nombre complexe uθ peut s’´crire sous la forme uθ = 1 − e−i θ . D’o` e u uθ = e−i 2 2 i sin
θ

θ 2

= 2 sin

θ 2

ei

π−θ 2

.
π−θ 2

θ e Puisque θ ∈]0, π[, on a sin( θ ) > 0. Par cons´quent |uθ | = 2 sin( 2 ) et arg(uθ ) ≡ 2 [2π].

mod

7. voir la figure Fig. 1.

sin(θ)





A 1 − cos(θ)

Fig.1 – Un peu de trigo. 8. La tangente de
π−θ 2

est ´gale a e `

sin θ 1−cos θ .

Or

π−θ 2

∈ [0, π [. D’o` pour θ ∈]0, π] : u 2 π−θ 2 = π−θ . 2

arctan 9. voir la figure Fig. 2.

sin(θ) 1 − cos(θ)

= arctan tan

Exercice 3 — Compos´es issues de arctan e 1. La fonction u est d´finie d`s lors que e e 1−x est le suivant : x
1−x x

est d´fini et positif ou nul. Le tableau de signee 0 + + 0 1 0 +∞ −

x −∞ 1−x + x
1−x x

− − 3

+ + + + 0 −

Fig. 2 – Graphe de f .
3 2 y 1 –8 –4 0 –1 –2 –3 4 x 8

Legend y=f(x)

Il d´coule du tableau de signe que le domaine de d´finition de u est ]0, 1]. e e e e e La fonction x → 1−x est d´rivable sur son domaine de d´finition ; la fonction ”racine carr´e” x est d´rivable sur ]0, +∞[ ; puisque x → 1−x s’annule sur ]0, 1] en x =...
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