Printemps 2010

Chap. III.

EspacesVectoriels

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Dans ce chapitre, K désignera R, ou C.

1 Espaces vectoriels
Dénition 1.1. : On appelle espace vectoriel sur K ( ou K-espace vectoriel ) un ensemble non videE muni d'une loi notée + et d'une autre loi notée ., noté ( E, +, . ), telles que : 1) Pour tout x, y ∈ E, x + y ∈ E. 2) Pour tout x, y ∈ E, x + y = y + x. 3) Pour tout x ∈ E, x + 0E = x. 4) Pour tout x ∈ E, −x ∈ E. 5) Pour tout x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z). 7) λ.(µ.x) = (λµ).x ∀λ, µ ∈ K et ∀x ∈ E. 6) Pour tout λ ∈ K, x ∈ E, λx ∈ E.

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8) (λ + µ).x = λ.x + µ.x ∀λ, µ ∈ K et ∀x ∈ E. 10) 1.x = x ∀x ∈ E. 9) λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀λ ∈ K et ∀x, y ∈ E.

Les éléments de K sont dits scalaires et ceux de E vecteurs. Exemple 1. : 1) K est un espace vectoriel sur lui même. 2) C est un espace vectoriel sur R. 3) R n'est pas un espace vectoriel sur C. 4) R[X] est un espace vectoriel sur R muni des lois :
(a0 + a1 X + ... + an X n ) + (b0 + b1 X + ... + bn X n ) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + ... + (an + bn )X n et λ(a0 + a1 X + ... + an X n ) = λa0 + λa1 X + ... + λan X n .

5) Soit E un espace vectoriel sur vide, et

K, A un ensemble quelconque non

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A → E}. On peut dénir sur S une structure d'espace vectoriel sur K par les lois : Si f, g ∈ S et λ ∈ K, alors f +g :A→E λf : A → E
S = { applications f : a → f (a) + g(a) a → λf (a)

6) Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels sur structure d'espace vectoriel sur E1 × E2 par :

K. On dénit une

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) et λ(x1 , y1 ) = (λx1 , λy1 ) avec λ∈ .

K

D'une manière analogue, K si E1, ...,En le sont.

E1 × ... × En est un espace vectoriel sur

Exemples d’Espaces Vectoriels et Notations

Exemple 1 : Le R‐espace vectoriel R2