Math bac
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Exercice 4 (4 points) Commun à tous les candidatsOn considère la suite (un )neN définie par:
Uo
= 1 et pour tout
nE N,
1 u n+1 = -un + n - 2. 3
1. Calculer
2.
a.
U1 ,
u 2 et u 3 •
'\
Il
Démontrer que pour tout entier naturel
4, un 5, un
o. n - 3.
b.
c.
En déduire que pour tout entier naturel n En déduire la limite de la suite
(u )neN. ll 3.
On définit la suite (vn )lleN par: pour tout nE N, vn
a.
= -2u n + 3n - 2.
21
Démontrer que la suite premier terme.
(VII )lleN
est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
b. En déduire que : pour tout nE N ,u n = 25
4
(!)n + 2 3
Il
-
4
c.
Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel Déterminer l'expression de S" en fonction de n.
par: SIl
= LU k k=O n
.
lOMAOSINl
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EXERCICE 4
1 5 1 u0 + 0 − 2 = − 2 = − . 3 3 3 5 14 1 • u2 = u1 + 1 − 2 = − − 1 = − . 3 9 9 1 14 • u3 = u2 + 2 − 2 = − . 3 27 1. • u1 = 5 14 14 u1 = − , u2 = − et u3 = − . 3 9 27 2. a. Montrons par récurrence que pour tout entier n 4, un 0.
14 67 1 u3 + 3 − 2 = − + 1 = 0. L’inégalité est donc vraie quand n = 4. 3 81 81 • Soit n 4. Supposons que un 0. Alors • u4 = un+1 = On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n b. Soit n 5. un = 1 1 un−1 + (n − 1) − 2 = un−1 + n − 3 3 3 5, un n − 3. 4, un 0. 1 un + n − 2 3 1 ×0+4−2 3 0.
pour tout entier naturel n c. Puisque lim (n − 3) = +∞, on en déduit que
n − 3.
n→+∞
n→+∞
lim un = +∞.
3.
a. On a déjà v0 = −2u0 + 3 × 0 −
21 21 25 = −2 − = − . Soit alors n un entier naturel. 2 2 2 1 15 2 7 un + n − 2 + 3n − = − un + n − 3 2 3 2
vn+1 = −2un+1 + 3(n + 1) − = 1 3
21 = −2 2 21 1 −2un + 3n − = vn . 2 3
La suite (vn )n∈N est la suite géométrique de premier terme v0 = − 25 2 1 3 n 1 25 et de raison q = . 2 3
b. Soit n un entier naturel. D’après la question a), vn = v0 qn = − 1 2 21 2 1 2 25 2 1 3 n puis 21 2 n un = −
vn −