Math corect
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CORRECTION DU DEVOIR MATH 1.4EXERCICE 1 1.a) La fonction Arctan est définie sur R. Par conséquent f l’est aussi. b) lim f ( x) x x
lim 2 Arc tan( x 2 1 x)
1 x2 x2
x
lim 2 Arc tan
1 x2 1 x
( x 2 1 x) ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) lim 2 Arc tan X
X 0
= xlim 2 Arc tan
x2 1 x
x
lim 2 Arc tan
0
On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote l’axe des abscisses.
x
lim f ( x)
x
lim 2 Arc tan( x 2 1 x)
X
lim 2 Arc tan X
2
2
.
On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote la droite d’équation : y
c) La fonction Arctan est dérivable sur R et la fonction racine sur R+*. Donc f est dérivable sur R. x 1 2 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x2 f ' ( x) 2 2 1 x2 1 1 x2 x2 2x 1 x2 1 x2 1 x2 x 1 x2 1 1 x2 x
1 1 x
d)
2
x
2
1 x2
2
1 x ( 1 x
x)
1 . 1 x2
x f’(x) –
F 0
y 6 5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
1
2
3
4
5
x
2. a) f ' ( x)
1 pour tout x réel. Par conséquent sur R (intervalle de continuité), on a : 1 x2
Arc tan x C , où C est une constante à déterminer. Or f (0) et f ( x)
f ( x)
2 Arc tan(1)
2
donc C =
2
Arc tan( x)
2
1 b) On sait par cœur que : Arc tan( x) Arc tan( ) suivant le signe de x. x 2 1 Arc tan( x) ( f ( x)) f ( x) . c) Si x > 0, alors g ( x) Arc tan( ) x 2 2 2 1 Arc tan( x) ( f ( x)) f ( x) . Si x < 0, alors g ( x) Arc tan( ) x 2 2 2 La courbe de la fonction g est donc identique à celle de la fonction f si x > 0 et est la translatée de celle de f du vecteur
i .
y 6 5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
1
2
3
4
5
x
2 3. a) L’équation (E) L’équation (E) 2 Arc tan 1 x
1 est équivalente à 3 1 1 2 Arc tan 1 x 2 x 2 Arc sin ou f ( x) 2 Arc sin . Or la fonction f est 3 3 d’après la question 1. d) continue et strictement décroissante sur R. Elle est donc bijective de R sur 0, . D’autre part, la fonction Arcsin étant une bijection de