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DAO.01
 
 
 
TS.0910 - DST.01 - Corrigé

Terminale S
2010-2011


 

EXERCICE 1 On considère dans . 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans

b) i) Montrer que pour tout réel ,

ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrerque l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de

Donc

,

est équivalente à l’équation :

Déterminer graphiquement un encadrement de la solution de par deux entiers consécutifs (on utilisera les représentations graphiques des fonctions et ).

Limite de

en

D’où 3. Déterminer la valeur exacte de (on pourra ). Donc

utiliser unchangement de variable dans l’équation ou partir de l’équation

4. Résoudre dans .

l’inéquation

TS 2010.2011 –DAO1.CORRIGÉ

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b) i)

est dérivable sur de :

. Pour tout réel

2. Pour tout réel

de

, l’équation : équivaut à

(car

)

Traçons dans un même repère orthogonal les représentations graphiques respectives des fonctions et .ii) Pour tout réel ; ; ; D’où Par conséquent :

de

:

est l’unique solution dans l’équation .

de

est donc l’abscisse de l’unique point d’intersection de droite d’équation . et de la courbe d’équation .

est strictement croissante sur

.

c)

est continue et strictement croissante sur . Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel compris entre etadmet un unique antécédent dans . Or et et , .

donc 1 est compris entre

Par conséquent, 1 admet un unique antécédent dans . C'est-à-dire : l’équation possède une unique solution dans . Soit ce réel.
TS 2009.2010 – DST.01.CORRIGÉ

Par conjecture graphique, on trouve :

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Or 3. dans . (car d’où donc )

Effectuons un changement de variable. Posons . Pourtout réel de ,

Donc l’équation solution dans .

n’a pas de

équivaut à

Donc, pour tout réel

de

:

équivaut à

(car

et

sont strictement est ).

positifs et la fonction strictement croissante sur

Soit

est un polynôme du deuxième degré. son discriminant.

donc le polynôme racines distinctes et ; ; Donc, pour tout réel de

admet deux telles que :

Parconséquent :

:

Remarque : d’où donc d’où c.a.d

; ,

équivaut à

ou
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Cela confirme l’encadrement (moins précis) trouvé à la question 2.
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Autre méthode dans Pour tout réel de , . Or (car d’où donc donc D’où : d’où )

équivaut à Effectuons un changement de variable. Posons . Pour tout réel de équivaut à , 4. Inéquation à résoudredans ; soit On sait que On retrouve alors le système de la méthode précédente… ⋅ Sur l’intervalle Troisième méthode

: .

est strictement croissante sur et que .

: ; .

est strictement croissante et d’où , c'est-à-dire

Pour tout réel de donc , c'est-à-dire Pour tout réel de équivaut à

: . :

, ⋅ Sur l’intervalle est strictement croissante et d’où , c'est-à-dire : ; .

Soitest un polynôme du deuxième degré. son discriminant.

⋅ En

,

donc le polynôme admet deux racines distinctes et telles que : ; ;
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donc :

L’ensemble de solutions dans l’inéquation est l’intervalle .
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de

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sur

EXERCICE 2 1. Limite de en 0

On considère la fonction définie sur
 par : Donc .

Limite de 1.Déterminer les limites de en 0 et en .

en

2. Vérifier que pour tout réel

, .

On obtient une forme indéterminée du type « ».

Pour tout réel 3. Déterminer la limite de en 1.

de

:

En déduire un prolongement par continuité de la fonction sur est une fonction rationnelle dont le quotient des termes de plus haut degré est Donc , c'est-à-dire 1 .

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