D´rivation : Cours e
I. Nombre d´riv´ en x0 e e
1. D´finition e

Soit f une fonction d´finie sur un intervalle ouvert contenant x0 . On dit que f est d´rivable en x0 si e e f Ôx0 hÕ ¡ f Ôx0 Õ la quantit´ e admet une limite finie quand h tend vers 0. h Cette limite est appel´e nombre d´riv´ en x0 et not´e f ½ Ôx0 Õ. e e e e f Ôx0 hÕ ¡ f Ôx0 Õ )) si l’existence de cette limite n’a pas encore ´t´ ee h

Remarque : Il ne faut pas ´crire (( lim e h 0

justifi´e. e

2. Meilleure approximation affine Th´or`me 1 e e f ½ Ôx0 Õ.

f est d´rivable en x0 si et seulement si il existe un r´el l tel que f Ôx0 hÕ e e lim ǫ 0.
0

f Ôx0 Õ lh hǫÔhÕ avec

Alors l

Remarque : on parle d’approximation affine car on remplace la fonction h f Ôx0 hÕ par la fonction affine h f Ôx0 Õ f ½ Ôx0 Õh. L’erreur commise en effectuant ce remplacement est hǫÔhÕ. Cette erreur n’est petite que lorsque h est tr`s e petit. Exemples importants : 1 2h hǫÔhÕ 1 1 ¡ h hǫÔhÕ 1 h 3 Ô1 hÕ 1 3h hǫÔhÕ 1 1 h 1 h hǫÔhÕ 2 avec lim ǫ 0.

Ô1 hÕ2

0

3. Lien avec la notion de limite Propri´t´ 1 e e
Si f est d´rivable en x0 , alors f admet une limite finie en x0 . e

Remarque : la r´ciproque est fausse ! e

4. Nombre d´riv´ ` droite. Nombre d´riv´ ` gauche e ea e ea D´finition e h h 0 0

Si lim

f Ôx0 hÕ ¡ f Ôx0 Õ existe et est finie, on dit que f est d´rivable ` droite en x0 et on note e a h ½ e e ea fd Ôx0 Õ cette limite, appel´e (( nombre d´riv´ ` droite )) en x0 . Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1

½ On d´finit de fa¸on similaire le nombre d´riv´ ` gauche fg Ôx0 Õ. e c e ea Dans le cas o` l’expression de f(x) n’est pas la mˆme avant et apr`s x0 et si f admet une limite finie en x0 u e e (qui est alors f Ôx0 Õ), alors : ½ ½ f est d´rivable en x0 si et seulement si fd Ôx0 Õ et fg Ôx0 Õ existent et sont ´gaux. e e
5. Interpr´tation graphique et m´canique e e Propri´t´ 2 e e Th´or`me 2 e e

S’il existe, le nombre d´riv´ f ½ Ôx0 Õ est le coefficient