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ESSEC Concours d’admission 1996

Option économique Mathématique II

vendredi 10 mai de 8 h à 12 h

Le problème a pour but l’étude d’un jeu, dont la description et l’analyse font l’objet de la partie 2.
Dans la partie 1 sont établis quelques résultats préliminaires utilisés ensuite.

Partie 1

Soit ( p n ) n(( une suite de nombres positifs telle que la série Σ p n converge.
Onconsidère la fonction F : [pic]qui appelée fonction génératrice de cette suite.
1°) Étude de F.
a) Montrer que pour t([0 ; 1] la suite de n ème terme général [pic] p k t k est croissante majorée.
En déduire que F est définie sur [0 ;1] .
b) Montrer que F est une fonction croissante sur [0 ;1] .

2°) Étude locale de F en 1 .

a) Montrer que F admet une limite àgauche en 1. On précisera le théorème utilisé.
( Montrer que si t([0 ;1] et n(( on a 0 ( F (1) ( F (t) ( [pic] p k ( 1 ( t k ) + [pic] p k .
( En déduire que 0 ( F(1) ( [pic]F( t ) ( [pic] p k .
( En faisant tendre n vers + ( déduire que F est continue à gauche de 1.
b) Établir que (t([0 ; 1[ [pic] = [pic] p k (1 + t + ... + t k ( 1 ). En déduire que lafonction
ϕ [pic] est croissante sur [0 ; 1[ .
c) On suppose dans cette question que la série [pic] k p k converge.
Montrer que ϕ admet une limite à gauche de 1 et [pic]ϕ ( t ) ( [pic] k p k .
En déduire que F est dérivable à gauche de 1 et en notant F 'g (1) le nombre dérivé à gauche de F en 1 , que F 'g (1) ([pic] k p k .
d) On suppose dans cette question que Fest dérivable à gauche de 1.
( Montrer que ( n(( ( t([0 ;1[ [pic] p k (1 + t + ... + t k ( 1 ) ( [pic].
( En déduire que ( n(( [pic] k p k ( F 'g (1) , puis que [pic] k p k ( F 'g (1) .

e) En déduire que F admet une dérivée à gauche de 1 si et seulement si la série[pic] k p k converge et qu'on a F 'g (1) =[pic] k p k .
f) Application : Soit X unevariable aléatoire à valeurs dans ( et ( n(( p n = P ( X = n) .
Établir qu'une condition nécessaire et suffisante pour que X admette une espérance est que F admette une dérivée à gauche de 1. Que vaut E ( X ) ?

3°) Produit de deux fonctions génératrices.
Soit ( p n ) n(( , ( q n ) n(( deux suites de nombres positifs telle que les séries Σ p n et Σ q n convergent. On définitla suite ( r n ) n(( par (n(( r n = [pic] p k q n ( k .
a) Établir que (n(( [pic]r j ( [pic]p j [pic]q j . En déduire la convergence de la série Σ r n .
b) Pour tout t , t([0 ; 1] , on pose F ( t ) =[pic] p k t k , G ( t ) =[pic] q k t k , H ( t ) =[pic] r k t k .
( Prouver que ( n(( ( t([0 ;1] [pic] r j t j ( [pic] p j t j [pic] q j t j ( [pic] r j t j( En déduire que (t([0 ;1] F ( t ) G ( t ) = H ( t ) .

Partie 2

Dans toute cette partie, on considère une pièce dont la probabilité de donner Face est égale à p où p est un nombre réel tel que p(] 0 ; 1[ .
On propose le jeu suivant à un individu muni d'un capital de K francs avec K((* .

( Il lance la pièce :
( Si celle-ci donne Face, il gagne 1 franc et son capitaldevient égal à K + 1 francs.
( Si celle-ci donne Pile, il perd 1 franc et son capital devient égal à K ( 1 francs.
À l'issue de ceci : Si son capital est nul, il est ruiné et le jeu cesse définitivement.
( Sinon, il recommence (muni de son nouveau capital) la même expérience aléatoire et dans les mêmes conditions, et il poursuit ainsi tant qu'il n'est pas ruiné.

On désigne par ;

( RK l'événement « le joueur, muni d'un capital de K francs, est ruiné à l'issue de l'un des jets de la pièce » .
( p n ( K ) est la probabilité pour que le joueur, muni d'un capital de K francs, soit ruiné à l'issue du n ième jet de la pièce. Par convention, on pose p 0 ( K ) = 0 .
( t ( F K ( t ) la fonction génératrice de ( p n ( K )) n(( , définie par
( t([0 ; 1] F K ( t )...
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