ESSEC Concours d’admission 1996

Option économique Mathématique II

vendredi 10 mai de 8 h à 12 h

Le problème a pour but l’étude d’un jeu, dont la description et l’analyse font l’objet de la partie 2.
Dans la partie 1 sont établis quelques résultats préliminaires utilisés ensuite.

Partie 1

Soit ( p n ) n(( une suite de nombres positifs telle que la série Σ p n converge.
On considère la fonction F : [pic]qui appelée fonction génératrice de cette suite.
1°) Étude de F. a) Montrer que pour t([0 ; 1] la suite de n ème terme général [pic] p k t k est croissante majorée. En déduire que F est définie sur [0 ;1] . b) Montrer que F est une fonction croissante sur [0 ;1] .

2°) Étude locale de F en 1 .

a) Montrer que F admet une limite à gauche en 1. On précisera le théorème utilisé. ( Montrer que si t([0 ;1] et n(( on a 0 ( F (1) ( F (t) ( [pic] p k ( 1 ( t k ) + [pic] p k . ( En déduire que 0 ( F(1) ( [pic]F( t ) ( [pic] p k . ( En faisant tendre n vers + ( déduire que F est continue à gauche de 1. b) Établir que (t([0 ; 1[ [pic] = [pic] p k (1 + t + ... + t k ( 1 ). En déduire que la fonction ϕ [pic] est croissante sur [0 ; 1[ . c) On suppose dans cette question que la série [pic] k p k converge. Montrer que ϕ admet une limite à gauche de 1 et [pic]ϕ ( t ) ( [pic] k p k . En déduire que F est dérivable à gauche de 1 et en notant F 'g (1) le nombre dérivé à gauche de F en 1 , que F 'g (1) ([pic] k p k . d) On suppose dans cette question que F est dérivable à gauche de 1. ( Montrer que ( n(( ( t([0 ;1[ [pic] p k (1 + t + ... + t k ( 1 ) ( [pic]. ( En déduire que ( n(( [pic] k p k ( F 'g (1) , puis que [pic] k p k ( F 'g (1) .

e) En déduire que F admet une dérivée à gauche de 1 si et seulement si la série[pic] k p k converge et qu'on a F 'g (1) =[pic] k p k . f) Application : Soit X une