Math fac eco gestion

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Universit´e de Paris Ouest-Nanterre
Licence de Sciences ´Economiques 1`ere ann´ee
Ann´ee 2008-2009
Cours de Math´ematiques I
Patrice Bertail (UPA) Fran¸cois M´etayer (UPC)
Philippe Soulier (UPB)
Notes r´edig´ees par Salah Mehdi, Laurent Mesnager et
Philippe Soulier
Table des mati`eres
1 Fonctions num´eriques d’une variable r´eelle 4
1.0 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Fonction num´erique d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Fonctions logarithme, exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Fonctions minor´ees, major´ees, born´ees . .. . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Composition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Limites et continuit´e 16
2.1 Limite etcontinuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Limite `a droite et `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Limite en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
2.5 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.5.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.4 Composition de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Croissances compar´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7D´etermination de limites par comparaison . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Continuit´e sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.1 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.2 Prolongement par continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.3 Th´eor`eme desvaleurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . 34
3 D´erivation 35
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Le th´eor`eme de Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 D´eriv´ee et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
3.5 D´eriv´ee seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 D´eveloppements limit´es polynomiaux 44
4.1 D´efinition, propri´et´es, existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Alg`ebre des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
4.2.1 Somme etproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 D´erivation et primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Applications des d´eveloppement limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Recherche de limites . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Position d’une courbe par rapport `a sa tangente . . . . . . . 55
4.3.3 D´eveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.4 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Optimisation 57
5.1 Extrema d’une fonction num´erique r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Points stationnaires . . . ....
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