Math financieres

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LTP Caucadis - Vitrolles

STT / BTS

Note Technique
Techniques Quantitatives de Gestion

Mathématiques Financières : l’essentiel

Les 10 formules incontournables
(Fin de période)

Marc ROMANO
1998/99

Rappels d’algèbre

[pic]

Taux proportionnel – Taux équivalent

Taux Proportionnel[pic]

Exemple : taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 12%
[pic]

Taux équivalent

[pic]

Exemple : taux t mensuel équivalent à un taux i annuel de 12%
[pic] (ou 0.9488%)

Capitalisation – Actualisation

Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i

[pic](1)

Valeur acquise par un capital de 10.000 F placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % :
[pic]
Même calcul, mais intérêts composés trimestriellement.
Etape 1 : Détermination du taux trimestriel équivalent à 7% annuel
[pic]
Etape 2 : calcul de la valeur acquise d’un capital de 10000 F placé pendant 20 périodes (5 années de4 trimestres) au taux de 1.706%
[pic]
On constate que, les taux étant équivalents, les valeurs futures sont strictement identiques, quelle que soit la période de composition choisie.

Valeur actuelle Vo (actualisation) d’une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i

[pic] (2)

Combien faudrait-il placer aujourd’hui, sur unlivret de Caisse d’Epargne à 4% par an, pour disposer de 100.000 F dans 8 ans ?
[pic]

Emprunts indivis – Annuités (fin de période)

Valeur future Vn d’une suite d’annuités a placées au taux i pendant n périodes

[pic] (3)

Quelle sera la valeur totale d’une série de versements de 500 F par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de5,15% par an ?
Etape 1 : taux mensuel équivalent à 5,15% annuel
[pic]
Etape 2 : calcul de la valeur future
[pic]

Problème corollaire : montant de l’annuité a pour constituer un capital Vn

De la formule ci-dessus, on peut facilement déduire a en supposant Vn connu :

[pic] (4)

Avec les mêmes données quel’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 F au terme des 8 années ?
Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent).
[pic]

Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période

[pic] (5)

Une assurance vie propose deux formules encas de décès :
□ Versement d’un capital unique de 500.000 F
□ Versement d’une rente annuelle de 50.000 F pendant 12 ans
En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 F. en appliquant la formule d’actualisationdes annuités constantes :
[pic]
Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui).
Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation de 8 %. Le calcul d’actualisation donne dans ce cas une Vo de 376.803,90 F. On aura donc intérêt à préférer le versement immédiat.Problème corollaire : montant de l’annuité a connaissant Vo, le taux et la durée (problème de l’annuité de remboursement de crédit).

[pic] (6)

Un ami vous demande de lui prêter 10.000 F, qu’il se propose de vous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

Calcul du taux proportionnel...
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