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  • Publié le : 15 mars 2010
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Chapitre 22

L ES

´ SUITES R EELLES OU COMPLEXES

e chapitre consacré à l’étude des suites sera l’un des plus longs et fondamentaux de cette partie du programme d’analyse, ce qui reflète l’importance de la notion, tant du point de vue théorique que pratique. L’idée de suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe sièclepour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels. La notion de suite ne peut être dissociée de celles de mouvement, de quantité en devenir, de dynamique, d’objet concret évoluant vers quelque objet idéal. On ne peut pas vraiment faire un historique de l’idée en tant que telle, car il n’y a pas à proprement parlerde théorie des suites qui évolue au cours des âges. Il y a plutôt une multitude de problèmes variés dans lesquels elles interviennent, sinon comme fin, du moins comme moyen. De plus, la notion de suite est intimement liée à celle de « série », c’est-à-dire au problème de la sommation d’une infinité de termes. Donnons quelques exemples choisis, évidemment très fragmentaires, pour illustrer notrepropos. Archimède est l’un des premiers à utiliser des suites pour résoudre des problèmes de quadrature, ce dernier terme signifiant étymologiquement la construction d’un carré de même aire qu’une surface donnée1 . Aujourd’hui, il faut tout simplement entendre par là le calcul de l’aire de la surface en question.

C

Archimède développe une méthode dite d’exhaustion, qui consiste, pour calculerune telle aire, à encadrer la surface entre deux autres dont la différence des aires est aussi petite que l’on veut. Dans son De la quadrature de la parabole, il établit par exemple la proposition suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené àtravailler avec une suite géométrique de raison 1/4, dont il doit sommer les termes, en évitant toutefois la somme infinie et en se contentant de manipuler la suite des sommes finies. Un autre exemple dû à Archimède est son calcul approché de π par la méthode dite des isopérimètres, consistant à approcher le périmètre d’un cercle par deux suites adja-

centes de périmètres, obtenues, pour l’une,par des polygones réguliers inscrits et, pour l’autre, par des polygones réguliers circonscrits, dont il fait croître le nombre de côtés. Il obtient ainsi l’encadrement suivant : 3+ 10 1 0, ce qui entraîne que − Ce nombre est appelé la limite de la suite, ce que l’on note
n→+∞

Preuve. Soit ε > 0 un nombre réel strictement positif. Par définition, il existe N ∈ N et

= 0.

n

lim un = . 597

|un − 0| = un ≤ 1/n ≤ 1/N < ε ce qui montre la convergence de la suite vers 0. La remarque suivante est presque évidente, mais très importante en pratique.

Méthode

Inégalités strictes ou larges

Dans la définition de la limite, il est toujours possible de choisir arbitrairement le type d’inégalités utilisé. Par exemple, avec les notations de la définition, (un)n∈N a pour limite si etseulement si pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N vérifiant n > N, on ait l’inégalité |un − | ≤ ε. Exemple 22.10. La suite (un)n∈N définie par un = (−1)n est divergente. En effet, supposons qu’une telle suite soit convergente et de limite . Appliquons la définition de la convergence avec ε = 1 : il existe un entier N tel que |un − | < 1 pour tout n ≥ N. Or, pour n = 2N, cetteinégalité donne |1 − | < 1. De même, pour n = 2N + 1, on obtient | − 1 − | < 1. Ainsi, on a 2 = |1 − (−1)| = |(1 − ) − (−1 − )| ≤ |1 − | + | − 1 − | < 2, ce qui est absurde. Nous avons donc démontré que la limite n’existe pas. La suite (un)n∈N est bien divergente. Exemple 22.11. Soit (un)n∈N une suite convergente de limite . Montrons que la suite (|un|)n∈N est convergente de limite | |. Pour ε > 0,...
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