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Devoir a la maison n°3 `

Correction

⊲ Exercice 1 Inégalité de Bernoulli Démontrer que pour tout entier naturel n et tout réel x > −1, on a (1 + x)n 1 + nx. Soit x ∈ ]−1 ; +∞[, montrons par récurrence sur n ∈ l’hypothèse de récurrence Hn : Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx. x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On a (1 + x)0 = 1 et 1 + 0 × x = 1 donc (1 + x)0 1 + n0 × x et H0 est bienvraie. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, (1 + x)n 1 + nx. On a alors

Æ Æ

Æ

(1 + x)n On a ensuite

1 + nx ⇐⇒ (1 + x)n+1

(1 + nx)(x + 1) puisque 1 + x > 0

(1 + nx)(x + 1) = x + 1 + nx2 + nx = 1 + (n + 1)x + nx2 et, comme nx2 0, on a 1 + (n + 1)x + nx2 1 + (n + 1)x. Finalement on a(1 + x)n+1 1 + (n + 1)x. On a donc (1 + x)n+1 1 + (n + 1)x. Autrement dit Hn+1 est vraie et la propriété est héréditaire. z Conclusion : On conclut par récurrence. Pour tout n ∈ , (1 + x)n 1 + nx.

Æ



Exercice 2

Révisions sur les suites un+1 = vn = 8 − un .

Soit (un ) la suite définie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n : Soit (vn ) une suite définie pour tout entier naturel npar : 1. Calculer u1 , u2 , u3 puis v1 , v2 , v3 . ¶ u1 = 2 u0 + 4 = ¶ u2 = u1 + 4 = ¶ u3 = +4=
1 2 1 u 2 2 1 1 2 1 2 1 2

1 un + 4. 2
11 2 27 4 59 8 5

×3+4= × ×
11 2 27 4

+4 +4

11 . 2 27 = . 4 59 = . 8

¶ v1 = 8 − u1 = 8 − ¶ v2 = 8 − u2 = 8 − ¶ v3 = 8 − u3 = 8 −

= 2. = . =
5 4 5 . 8

2. Montrer que (vn ) est une suite géométrique et préciser sa raison. Soit n ∈ ,

Ævn+1 = 8 − un+1 = 8 −
1

1 un + 4 2

1 1 1 1 = 8 − un − 4 = 4 − un = (8 − un ) = vn 2 2 2 2
1

On a donc vn+1 = 2 vn , on en déduit que (vn ) est bien géométrique de raison 2 . 3. En déduire une expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de n. ¶ Puisque (vn ) est géométrique de raison ¶ On en déduit que, pour tout n ∈
1 2

Æ, un = 8 − 5 ×

on sait que, pour tout n ∈
1 n .2

Æ, vn = 5 ×

1 n . 2

4. a. Question de cours : prouver qu’une suite géométrique de premier terme v0 positif et de raison q comprise entre 0 et 1 est monotone. Soit n ∈ , on s ait que vn = v0 × qn , on a donc

Æ

vn+1 − vn = v0 × qn+1 − v0 × qn = v0 × qn × (q − 1) Avec, d’après l’énoncé, v0 0, q 0 donc qn 0 et 0 q On a donc vn+1 − vn 0 et la suite (vn ) est décroissante. b. Quellessont les variations des suites (un ) et (vn ) ? ¶ (vn ) est une suite géométrique de premier terme v0 = 5 > 0 et de raison ¶ (vn ) est décroissante donc (−vn ) est croissante. On sait que, pour tout n ∈ que (un ) est croissante.
1 2

1 donc q − 1

0.

< 1 donc elle est décroissante.

Æ, un = 8 − vn , on en déduit

Lycée Henri Meck, Molsheim. MF

-1-

Dernière modification le 3novembre 2010

Devoir a la maison n°3 `

Correction

5. Trouver un majorant et un minorant de la suite (un ). Montrons par récurrence sur n ∈

x Initialisation : Montrons que H0 est vraie. On sait que u0 = 3 donc on a bien 3 u0 8. y Hérédité : Soit n ∈ , on suppose que l"hypothèse de récurrence est vraie jusqu’au rang n. On a donc, d’après l’hypothèse de récurrence, 3 un 8. Or

Æ l’hypothèsede récurrence Hn : pour tout n ∈ Æ, 3 un 8.

Æ

3

un

8 ⇐⇒

3 1 un 4 2 2 3 1 ⇐⇒ + 4 un + 4 8 2 2 11 1 un + 4 8 ⇐⇒ 2 2 ⇐⇒ 3 un+1 8 puisque 3 11 2

On a donc 3 un+1 8. Autrement dit Hn+1 est vraie et la propriété est héréditaire. z Conclusion : On conclut par récurrence. Pour tout n ∈ , 3 un+1 8. Finalement la suite (un ) est minorée par 3 et majorée par 8.

Æ

6. Quelles sont leslimites des suites (un ) et (vn ) ? ¶ (vn ) est une suite géométrique de raison −1 < ¶ On a alors
n→+∞

1 2

< 1, on a donc lim vn = 0.
n→+∞

lim un = lim (8 − vn ) = 8 − lim vn = 8
n→+∞ n→+∞

⊲ Exercice 3 Révisions sur les suites Soit (un ) la suite définie pour tout n par u0 = 0 et un+1 = 5un − 3 . un + 1

1. a. Représenter u1 , u2 , u3 , u4 , u5 et u6 dans le repère suivant.
×

9...
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