Cours
Inéquation du second degré
Définition et premiers exemples
Une « inéquation du second degré à une inconnue » est une inéquation qui peut se mettre sous l’une des quatre formes suivantes :

ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c ≥ 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c ≤ 0

avec a ≠ 0 .

Dans certains cas, on sait résoudre ce genre d’inéquations :
Exemple N°1. Résoudre l’inéquation : 4 x 2 + 28 x + 49 > 0

On constate que : 4 x 2 + 28 x + 49 = ( 2 x + 7 )

2

Or, pour tout réel x, on a : ( 2 x + 7 ) ≥ 0 et, plus précisément : ( 2 x + 7 ) = 0 uniquement pour
2

2

7 x=− .
2
7⎡ ⎤ 7
⎤
⎡
On en déduit l’ensemble des solutions de cette équations : S = ⎥ −∞; − ⎢ ∪ ⎥ − ; +∞ ⎢
2⎣ ⎦ 2
⎦
⎣

Exemple N°2. Résoudre l’inéquation : 2 x 2 - 9 x ≤ 0
L’inéquation est équivalente à : x ( 2 x − 9 ) ≤ 0 .
On dresse un tableau de signes : x −∞

x

2x − 9

x ( 2x − 9)

9
2

0

+

0

+
-

0

0
0

+∞

+
+
+

En tenant compte du fait que l’inégalité de l’inéquation est une inégalité large, il vient alors :

⎡ 9⎤

S = ⎢0; ⎥
⎣ 2⎦

PanaMaths

[1-4]

Novembre 2005

Les exemples précédents nous permettent de faire deux observations :
• Pour résoudre une inéquation du second degré, il convient de savoir déterminer le signe d’un trinôme du second degré ;
• La détermination du signe d’un trinôme du second degré est d’autant plus aisée qu’on a pu, si cela est possible, le factoriser.
Ces deux observations conduisent naturellement à la partie suivante.

Signe d’un trinôme du second degré
On considère une fonction f définie par :

f :x

ax 2 + bx + c

(avec a ≠ 0 )

Ici encore, nous allons utiliser la forme canonique du trinôme ax 2 + bx + c pour déterminer le signe de f ( x ) .
2
⎛⎛ b ⎞
∆ ⎞
On rappelle (mise sous forme canonique) que l’on a : ax 2 + bx + c = a ⎜ ⎜ x + ⎟ − 2 ⎟
⎜⎝
2a ⎠ 4a ⎟
⎝
⎠

•

1er cas : ∆ < 0 b ⎞ b ⎞
∆
∆
⎛
⎛
Dans ce cas, on a : ⎜ x + ⎟ ≥ 0 et − 2 > 0 . D’où : ⎜ x + ⎟