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Chapitre I : Géométrie dans l’espace : Sections planes.
I. Positions relatives dans l’espace :

2008/2009

1°) Règles de bases : a) Détermination d’un plan : Propriété (admise) Trois points non alignés définissent un plan. Une droite (D) et un point A (D) définissent un plan.

b) Règles : Règle 1 : Par trois points non alignés A, B et C passe un seul plan. Ce plan est noté (ABC).

Règle2 : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P. Règle 3 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

Remarques : Des points appartenant à un même plan sont dits coplanaires Quand on raisonne sur une figure contenue dans un plan, on peut utiliser les propriétés de la géométrie plane. 2°) Positions relatives de droites etde plans : a) Deux droites distinctes : Deux droites de l’espace sont :  soit coplanaires  soit non coplanaires

d1
d1 d2

d1

d2

d1

d2

d2

d1 et d2 sont sécantes en A : d1  d2 =A

d1 et d2 sont strictement d1 et d2 sont parallèles : confondues d1  d2 =  d1= d2

Aucun plan ne contient d1 et d2 : d1  d2 = 

b) Une droite et un plan : Une droite et un plan del’espace sont :  soit sécants  soit parallèles d

A P
d et P ont un point d’intersection A: d  P = A d est contenue dans P : dP d et P sont strictement parallèles : d  P =

c) Position relative de deux plans : Deux plans sont :  soit sécants d P1  soit parallèles .

P2

P1 P2

P2

P1

P1 et P2 sont strictement P1 et P2 ont une droite d’intersection parallèles: P P = 1 2 d : P1 P2=d 3°) Le parallélisme dans l’espace :

P1 et P2 sont confondus : P1 = P2.

a) Parallélisme entre plans : Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux Théorème 1 : Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.

b) Parallélisme entre droite et plan : Théorème 2 : Si unedroite (d) est parallèle à une droite (d’),alors la droite (d) est parallèle à tout plan P contenant la droite (d’).

Démonstration : Théorème 1 :

1er cas : les plans (P) et (Q) sont confondus. A ce moment-là, aucun problème.

C'est un cas particulier de parallélisme. Le fait que deux droites sécantes de l'un soient parallèles à deux droites sécantes de l'autre ne joue pas. 2ème cas : lesplans (P) et (Q) ne sont pas confondus. Alors ils sont ou bien sécants, ou bien parallèles. Nous allons démontrer que la première option est impossible. Supposons qu'ils aient au moins un point en commun. Notons le A. On appelle (D) la parallèle à D1 passant par A. On appelle (D') la parallèle à D2 passant par A. Les droite (D) et (D') sont donc incluses dans le plan (P).

Ces deux droites (D)et (D') étant sécantes, le plan qu'elles définissent est (P). De plus :

Or (D) passe par le point A qui appartient à (Q). La droite (D) est donc incluse dans (Q).

Or (D') passe par le point A qui appartient à (Q). La droite (D') est donc aussi incluse dans le plan (Q).

Les droites (D) et (D') étant sécantes, le plan qu'elles défissent est (Q). Autrement dit, les plans (P) et (Q) sontconfondus (car définis par les mêmes droites (D) et (D')). Ce qui est absurde vu qu'on a supposé qu'ils ne l'étaient pas. Conclusion : Les plans (P) et (Q) ne pouvant avoir de point en commun, ils sont donc strictement parallèles.

Théorème 2 : Soit (D) une droite parallèle à une droite (D’) incluse dans un plan (P).


1er cas : la droite (D) est incluse dans le plan (P). A ce moment-là, aucunproblème. La droite (D) est parallèle à (P) car elle en fait partie.



2ème cas : la droite (D) n'est pas incluse dans le plan (P). Dans ce second cas, ou bien (D) et ( P) sont sécants ou bien (D) est strictement parallèle au plan (P). Nous allons démontrer que cette première option est impossible. Remarquons que les droites (D) et (D') sont nécessairement parallèles distinctes. Si elles...
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