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CHAPITRE

1
exercice 1 2

Généralités sur les fonctions

1 Les prérequis : « Vérifier les acquis »
prérequis testés Reconnaître si une courbe représente une fonction et, si oui, savoir reconnaître la variable, la grandeur étudiée et l’ensemble de définition. Savoir utiliser le sens de variation d’une fonction. Reconnaître une fonction de référence à partir de sa représentation graphique.réponses a) La variable est le temps et la grandeur étudiée est la population. b) À toute valeur du temps correspond une seule valeur de la population. c) [ 0 ; 8 ] . 3 f  --  2 1. a) x 2. f (2) f (4) . b) x x2 c) x 1–x

sin ( x )

1 3 –1 – π 2

1 π 2

1 1

x→x+1 Connaître le sens de variation des fonctions de référence. Savoir décomposer une fonction en un enchaînement de fonctionsélémentaires. 5

x → cos ( x )

1 x → -x

4

a) fonction décroissante sur . b) fonction décroissante sur ] – ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ . c) fonction croissante sur +. u : ]0 ; + ∞[ → v : ]0 ; + ∞[ → 1 -x x x2 x alors f = v u = u v ° ° 1 2 1 car pour x 0 f ( x ) =  -- = --- x x2

2 Objectifs
• Connaître la définition des opérations sur les fonctions u u + v , uv , λu, u + λ, -- et u v .° v • Étudier la stabilité de certaines familles de fonctions. • Décomposer une fonction à l’aide des fonctions de référence. • Connaître les théorèmes du cours concernant le sens de variation des fonctions u + λ, λu et u v .

• Représenter graphiquement une fonction en utilisant les représentations des fonctions de référence. • Représenter graphiquement une fonction x → f ( x + λ ).

3Activités d’approche
3.1 Une famille de fonctions u
1. b) • Si λ 0 les courbes λ sont au-dessus de l’axe des abscisses. • Si λ = 0 les courbes λ sont l’axe des abscisses. • Si λ 0 les courbes λ sont au-dessous de l’axe des abscisses. 2. a) Si A ( x ; 0 ) , N est le symétrique de A par rapport au point M. b) On en déduit la construction point par point de 2 à partir de 1 .

°

• Étudier le sens devariation d’une fonction en se ramenant à des fonctions de référence et en utilisant les théorèmes du cours. • Représenter graphiquement une fonction u + λ et une fonction λu à partir de la représentation graphique de u.
I4

c) 1
1

1 4

( x – 1 )2 1 x 2 – 2x + 1 0 , x + -- – 2 = -------------------------- = ------------------ donc x x x 1 pour tout x 0 , x + -- 2 car ( x – 1 ) 2 0 ,l’égalité a lieu x pour x = 1, d’où la démonstration de la conjecture précédente. d) Pour tout x

–1

O

1

3.4 Composée de fonctions
1. a) La courbe . b) x f (x) –1 0 0 1 0 si, et seulement si, OM 2 = 1 1

–1
–1

2. a) M ( x ; y ) est sur avec y

 x2 + y2 = 1 0 soit  y 0

3.2 Une famille de fonctions u +
1. b) Les fonctions obtenues ont le même sens de variation que la fonctionu donnée. 2. a) N est l’image de M par la translation de vecteur 2 j . b) On en déduit la construction point par point de la courbe 2 à partir de 0 . c)
0

d’où y = 1 – x 2 . b) Pour tout x de [ – 1 ; 1 ] : u v( x ) = u [ v ( x ) ] = u ( 1 – x2 ) = ° d’où f = u v . c) x
v

1 – x2 = f ( x )

°

1 – x2 X
u v u

X

1 1 2 O –1 –2
–2

° x 1 – x2 3. a) 0 a b 1 d’où 0 a 2 b 2 1(croissance de x → x 2 sur [ 0 ; 1 ] ) donc – 1 a 2 – 1 b 2 – 1 0 et 0 1 – b 2 1 – a 2 1 (décroissance de x → – x )
d’où 0 1 – b2 1 – a 2 (croissance de x → x ) f est donc décroissante sur [ 0 ; 1 ] . b) Sur [ – 1 ; 0 ] – 1 a b 0 donc • 0 b 2 a 2 1 (décroissance de x → x 2 sur [ – 1 ; 0 ] ) • – 1 b2 – 1 a2 – 1 0 • 0 1 – a 2 1 – b 2 1 (décroissance de x → – x ) 1 – a2 1 – b 2 1 (croissance de x → x sur•0 [ 0 ; 1 ]) f est donc croissante sur [ – 1 ; 0 ] .

1

π 2

π

3.3 Une somme de deux fonctions
a) M ( x ; x ) 1 N  x ; --  x 1 P  x ; x + -- .  x

Si A ( x ; 0 ) , P est sur la demi-droite [ N ; M ) telle que NP = AM . b)
u

4 Travaux dirigés
4.1. Autour de la fonction racine carrée
A. Notions utilisées
• Fonction racine carrée. • Tableau de variation et courbe...
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