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  • Publié le : 24 avril 2011
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Pour en finir avec .

Bien sur ce titre n’est qu’une accroche marketing, et je n’en finirai sans doute avec rien, mais si j’arrive à me faire comprendre par quelques uns ce ne sera déjà pas si mal.

Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’estdonc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier.

Chapitre 1
Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur .

Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (oncomprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)).

Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante :

On voit rapidement qu’avec cette définition (), mais que n’est pas pris en compte parcette définition (donc n'existe pas), pas plus que d’ailleurs.
Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que , c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est alorsun isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant le 0.
Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra).
Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :

On peut remarquer que poser est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune modification de lacondition de récurrence).
Au niveau du morphisme, c’est un peu plus compliqué : par définition du morphisme, il est obligatoire que l’image de l’élément neutre soit l’élément neutre. Pour x un réel différent de 0 et de 1, l’application est injective et l’image de ne contient pas 1 (normal pour un isomorphisme dont la source ne contient pas l’élément neutre), il n’y a donc pas le choix .

Pour ,l’image de est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser .
Pour , l’image de est {0} (dont on peut remarquer que c’est un groupe multiplicatif dont l’élément neutre est 0 ), il me paraît donc possible de choisir ou , dans les deux cas la structure de monoïde (et même au-delà) est conservée (cependant, ils ne sont pas isomorphes) ; néanmoins il y a plusieurs arguments pour choisir :
a) Cohérentavec les autres valeurs de x (argument faible).
b) L’injection canonique du monoïde dans n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément neutre (argument fort)

Dans cette optique, il semble donc plus naturel de poser

On peut se demander s’il est raisonnable d’envisager d’autres prolongements, les idées immédiates sont vers ou vers , malheureusement, dans ces deux cas, on perd complètementla définition intuitive et la définition par récurrence et comme on va retrouver la notion de morphisme dans le chapitre suivant, commençons celui-ci.

Chapitre 2
Pré-requis admis : , il existe un unique isomorphisme continu de groupe entre et , vérifiant , on notera l’isomorphisme réciproque. On admettra aussi un certain nombre de résultats analytiques concernant ces fonctions (continuité,dérivabilité, limites etc.).

Digression : pour a = 0, il faudrait avoir , et donc , et donc ne serait pas injectif. Même chose et même démonstration pour a = 1, ce qui explique que ces deux cas soient exclus.

On peut remarquer que pour un nombre entier n, (suivant la définition du chapitre 1) on peut aussi remarquer que par définition d’un morphisme de groupe.
On peut donc généraliser...
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