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Equations différentielles

1. Généralités
Définition
Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle (par exemple x), une fonction qui dépend de cette variable (par exemple y) et un certain nombre de ses dérivées successives. Lorsque la dérivée de plus haut degré de la fonction (qui apparaît réellement) est la nième (n∈À*), on dit que l'équation différentielle estd'ordre n.

Exemples
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yy" = x − x2y' est une équation différentielle d'ordre 2 où y est une fonction de la variable x. x − x 2 y’ On peut aussi l'écrire y” = y . x" − tx' + x2 = 1 est une équation différentielle d'ordre 2 où x est une fonction de la variable t. t' − tx + x2 = 1 est une équation différentielle d'ordre 1 où t est une fonction de la variable x.

x x

Remarques
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x

Uneéquation différentielle d'ordre n peut donc s'écrire sous la forme : φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 ou encore φ(x,y(x),y'(x),y"(x),...,y(n)(x)) = 0 où y est donc une fonction qui dépend de x et φ est une fonction des n + 2 variables x,y,y',y",...,y(n). Nous nous intéresserons aux fonctions y à valeurs dans Á ou Â. dy Il nous arrivera de rencontrer à la place de y' et nous pourrons avoir des équations dela forme dx 2 2xdx = y dy.

Définition
Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 sur un intervalle I de Á ou Á tout entier, c'est trouver toutes les fonctions f telles que : a. f soit n fois dérivable sur I b. ∀x∈I, φ(x,f(x),f'(x),f"(x),...,f(n)(x)) = 0 Une fonction qui vérifie les conditions (a) et (b) est appelée solution (ou intégrale) particulière del'équation différentielle et sa courbe représentative est appelée courbe intégrale de l'équation différentielle. On appelle solution (ou intégrale) générale de l'équation l'ensemble de toutes les fonction solutions. On appelle courbes intégrales d'une équation différentielle l'ensemble des courbes représentatives de toutes les solutions de cette équation différentielle.

Francis Wlazinski

1 Remarques
x x

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En pratique, on suppose souvent que I est un intervalle ouvert de Á. Si IdI désigne l'application identité de Á restreint à I, on peut aussi écrire φ(IdI,y,y',y",...,y(n)) = 0 où 0 designe la fonction nulle sur I. Dans certains cas, à partir de la solution générale d'une équation différentielle, on peut rechercher une solution particulière satisfaisant à certaines conditionsappelées conditions initiales. En général, ces conditions concernent les valeurs prises par la fonction ou certaines dérivées en une valeur x0.

Exemples
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La fonction f définie sur Á par f(x) = x2 est une solution particulière de l'équation différentielle y" + xy' − 5y = 2 − 3x2. Les courbes intégrales de l'équation différentielle y" = 0 sont les droites du plan non parallèles àl'axe des ordonnées. x y = X t dt = 1 x2 − 2 est la solution particulière de l'équation différentielle y' = x qui vérifie la 2 2 condition initiale y(2) = 0.

Définition
Une fonction f définie sur I est dite une solution maximale d'une équation différentielle (E) s'il n'existe pas d'intervalle J Š I et de fonction g telle que g|I = f qui soit aussi solution de (E).

Définition
On appelleéquation simplifiée toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme φ(x,y(n)) = 0.

Méthode de résolution
Si on peut mettre l'équation sous la forme y(n) = g(x) alors il suffit d'intégrer n fois la fonction g. Ex : On cherche à résoudre l'équation différentielle xy' − 1 = 0. A priori, cette équation est définie sur Á. Toutefois, si x = 0, alors aucune fonction ne convient. On peut doncla résoudre soit sur ]−∞;0[ soit sur ]0;+∞[. Pour simplifier, on prend ]0;+∞[. On obtient y' = 1 et donc y = ln x + a où a∈Á. x Les courbes intégrales de l'équation s'obtiennent de celle de ln x par une translation parallèlement à l'axe des ordonnées.

2. Equations différentielles du premier ordre
2.1 Equations à variables séparables
Définition
On appelle équation à variables séparables...
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