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Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 2ème année - Joël GADEN

Chapitre 4

Optimisation Libre d’une Fonction.

I. FONCTION D’UNE VARIABLE A. Extremum sur un intervalle fermé et borné.
Ce n’est pas une recherche locale mais sur un intervalle réel I = [a;b] pour des fonctions continues.

1.Théorème de WEIERSTRASS
” Si une fonction f de R dans R est continue sur un intervalle ferméet borné [a;b] alors f atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle ”

2. Méthode pratique de recherche d’un extremum sur un intervalle fermé et borné
( pour une fonction f dérivable sur [a;b] = I ) 1ère étape: on détermine les points candidats de f sur l’intérieur ]a;b[ de I à partir de la relation f (x) = 0. 2ème étape: on calcule les valeurs aux bornes a et b par f et aussi aux pointsstationnaires. 3ème étape: on compare ces valeurs. La plus grande donne le max de f sur I et la plus petite donne le min de f sur I.

3. Exemple
f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de [−4; +3] 3 2

1ère étape: f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. f est donc continue et dérivable sur ] − 4 ; + 3[ f (x) = 0  x 2 − x − 2 = 0  (x + 1)(x − 2) = 0  x = −1 ∈] − 4 ; + 3[ oux = +2 ∈] − 4 ; + 3[ Il existe donc deux points candidats x 1 = −1 ou x 2 = +2 2ème étape: f(−4) = −49/3 ; f(+3) = 3, 5 ; f(−1) = 6, 166 ; f(+2) = 1, 666 3ème étape: La plus petite image f(−4) = −49/3 donne le min -49/3 de f en -4 sur I. La plus grande image f(−1) = 6, 166 donne le max 6,166 de f en -1 sur I.

B. Fonctions convexes et fonctions concaves
1. Théorème
* Si f " (x) > 0 sur Ialors f est strictement convexe sur I. * Si f " (x) < 0 sur I alors f est strictement concave sur I.

2. Exemple
* f(x) = 1 x 3 − 1 x 2 − 2x + 5 pour x de R. 3 2 f est de classe C ∞ sur R car c’est une fonction polynôme. * f (x) = x 2 − x − 2 * f (x) = 2x − 1 s’annule pour x = 1/2 * f (x) < 0 pour x < 1/2 * f (x) > 0 pour x > 1/2 Alors: ∗ f est concave strictement sur ] − ∞; 1/2[

∗ f estconvexe strictement sur ]1/2; +∞[ ∗ f admet en 1/2 un point d inflexion en lequel la tangente a pour coefficient directeur f (1/2) = −2, 25.

II. Fonction de deux variables. A. OPTIMISATION
1. Extremum local: définitions
Soit f fonction de R 2 dans R définie sur un domaine D f . Considérons un point X 0 = (x 0 ; y 0 ) ∈ D f S’il existe un voisinage V(X 0 ) de X 0 dans lequel f est définie alors fadmet un: # max local en X 0 si f(X) ≤ f(X) pour tout X de V(X 0 ) # max local strict en X 0 si f(X) < f(X) pour tout X de V(X 0 ) # min local en X 0 si f(X) ≥ f(X) pour tout X de V(X 0 ) # min local strict en X 0 si f(X) > f(X) pour tout X de V(X 0 )

2. Conditions de premier ordre
2a. Théorème Si f admet un extremum en X 0 = (x 0 , y 0 ) alors ∂f ∂f (X 0 ) = 0 et (X ) = 0. ∂y 0 ∂x

2b.Recherche pratique des points candidats Pour obtenir les points candidats ( ou stationnaires ou critiques) il faut résoudre le système de deux équations à deux inconnues ∂f (X ) = 0 ∂x 0 ∂f (X ) = 0 ∂y 0

formé par les dérivées partielles premières nulles

2c. Exemple de recherche de point(s) candidat(s) Soit la fonction f numérique à variable vectorielle de R 2 dans R définie par: f(x, y) = xy 2+2x 2 +y 2 . C’est une fonction polynôme en x et en y donc elle est de classe C ∞ sur R par rapport à chaque variable. Cette fonction f est donc de classe C ∞ sur R 2 . ∂f (X) = 0 ∂x ∂f (X) = 0 ∂y  y 2 = −4x 2y(x + 1) = 0 y 2 + 4x = 0 2xy + 2y = 0 y 2 = −4x y = 0 ou x = −1 (1) (2)





* Avec la (2) dans (1): Si y = 0 alors 0 = -4x soit x = 0 * Avec la (2) dans (1): Si x = -1 alors y 2 = 4d’où y = -2 ou y = +2 * On obtient les trois points candidats: X 1 (−1; −2); X 2 (−1; +2); X 3 (0; 0)

3. Conditions de second ordre (pour approfondir)
3a. principe général ( pour approfondir) L’approximation quadratique de f(X) au voisinage d’un point candidat X 0 s’écrit à partir des différentielles première et seconde: f(X) − f(X 0 ) ≈ df X 0 (h, k) + 1 d 2 f X 0 (h, k) 2 or: df X 0 (h,...
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