Exo7
Limites de fonctions

1 Théorie
Exercice 1 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞.
Indication
Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0

Correction

Vidéo

[000612]

√ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim

[000609]

2 Calculs
Exercice 3 Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes a) limx→0 d) limx→π g) limx→0 x2 +2 |x| x sin2 x 1+cos x √ 3 1+x2 −1 x2

b) limx→−∞ e) limx→0

x2 +2 |x| x

x −4 c) limx→2 x2 −3 x+2

2

√ √ 1+x− 1+x2 x

√ √ f ) limx→+∞ x + 5 − x − 3

h) limx→1 xx−1 n −1
[000616]

Indication

Correction

Vidéo

Exercice 4 Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : x→α lim

xn+1 − α n+1 , xn − α n

x→0

lim

tan x − sin x , sin x(cos 2x − cos x) x+ √ √ x + x − x, (α > 0)

x→+∞

lim

√ √ √ x− α − x−α √ lim , x→α + x2 − α 2 x→0 lim xE

1 , x

1

x→2 x2 + x − 6

lim

ex − e2

,

x4 , en fonction de α ∈ R. x→+∞ 1 + xα sin2 x lim

Indication
Exercice 5 Calculer :

Correction

Vidéo

[000628]

x , x→0 2 + sin 1 x lim

x→+∞

lim (ln(1 + e−x )) x , lim+ x ln(ex −1) . x→0 1

1

Indication
Exercice 6

Correction

Vidéo

[000635]

Trouver pour (a, b) ∈ (R+∗ )2 : x→0 lim+

ax + bx 2

1 x

.
[000638]

Indication

Correction

Vidéo

Exercice 7 Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs. x+2 1. lim+ 2 x→0 x ln x √ 2. lim+ 2x ln(x + x) x→0 3. 4.

x3 − 2x2 + 3 x→+∞ x ln x lim
√

e x+1 x→+∞ x + 2 ln(3x + 1) 5. lim+ 2x x→0 xx − 1 6. lim+ x→0 ln(x + 1) lim 7. 2 x3 + 4 ln x→−∞ x + 1 1 − x2 2 8. lim + (x − 1) ln(7x3 + 4x2 + 3) lim x→(−1) x→2

9. lim+ (x − 2)2 ln(x3 − 8) x(xx − 1) x→0 ln(x + 1) 11. lim (x ln x − x ln(x + 2)) 10. lim+