Math
1 Notations
|
Tel que
⊂
Inclus dans
→
De … vers
:
Tel que
,
Et

2 Nombres, relations et applications
2.1 Nombres
IN : Naturels
IN0
Z : Entier
Z0
Z+=IN : rationnels
IR : réel

2.2 Relation d’ordre : la relation dans IR
Rappel :
Une relation § (« Brol », n’importe quoi) dans IR est une partie de IRxIR
La relation § est un préordre sur IR ssi elle est
Réflexive :
Transitive : si
La relation § est un ordre sur IR ssi elle est
Réflexive
Transitive
Antisymétrique : si a § b et b § a alors a = b
Un ordre est total ssi a § b ou b § a  2 éléments quelconques peuvent tjrs être comparés avec la relation
Quelques exemples :
// parallèle :
Réflexive
Transitive
PAS antisymétrique
 préordre
/ divisé sur IN0 :
Réflexive
Transitive
Antisymétrique
Ordre partiel :
Réflexive
Transitive
Antisymétrique
Ordre total
Remarques :
Compatible + et X
Pas compatible /
2.3 Fonction de IR dans IR
Soit
Alors est une fonction ssi
A chaque x de A correspond 1 seul élément f(x) de B
Remarque :
A : domaine de définition
B : domaine image
2.4 Image et image réciproque
Soit
2.4.1 Image
Ensemble image par f de
2.4.2 Image réciproque
Ensemble image réciproque de f par B’⊂ B :
Remarque : si f est une fonction, f-1 n’est est pas tjrs une
2.5 Applications surjectives, injectives et bijectives
2.5.1 Application (=fonction) injective :
Des éléments ≠ ont tjrs des images ≠

Graphiquement : Si on trace des lignes horizontales (perpendiculaires à l’axe y) n’importe où, les lignes ne croiseront la fonction que max 1 fois
2.5.2 Fonction surjective
Chaque y B est l’image d’au moins un x A

Graphiquement : Si on trace des lignes horizontales passant par n’importe quel point de B, on croise au moins 1 fois la fonction
Ex : fonction valeur abs
2.5.3 Fonction bijective
A la fois surjective et injective
2.6 Composition de fonctions
Soit 2 fonctions : f : A →B et g : B → C
Alors

2.6.1 Commutativité:
Pas