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Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e `
NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME
E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x =
L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E,
Imf et ker f d´ signent l’image et le noyau d’ un endomorphisme f de E. Id est l’ identit´ sur E. Matβ β e e d´ signe la matrice de f dans la base β de E. Dans la partie I on d´ finit les endomorphismes sym´ triques e e e positifs et on cherche leur racine carr´ e. Dans la partie II on d´ finit l’adjoint d’ un endomorphisme puis e e
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´ on etablit que quatre propri´ t´ s Sont equivalentes, cette partie est ind´ pendante de la partie I. La partie III ee e
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etudie une d´ composition appel´ e d´ composition de Cartan d’ un endomorphisme. e e e
P artie I
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Etude d’ endomorphismes positifs
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On consid` re dans cette partie un endomorphisme sym´ trique de f de E, c’est a dire un endomorphisme e e tel que: ∀(x, y) ∈ E 2 , f (x), y = x, f (y) . On note λ1 , λ2 , ...... les valeurs propres distinctes de f .
1. Que peut-on dire des valeurs propres et des sous espaces propres de f ?
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2. D´ montrer l’ equivalence des propri´ t´ s suivantes: e ee
i) ∀x ∈ E, f (x), x ≥ 0 ii) ∀i ∈ {l.2, ..., p}, λi ≥ 0
On dira qu’ un endomorphisme f sym´ trique v´ rifiant i) est positif. e e e e
3. Soient f et g deux endomorphismes sym´ triques et positifs tel que gog = f . λ1 , λ2 , ...λp d´ signent les valeurs propres distinctes de f .
√
a) Montrer√ les valeurs propres de g sont les λi , 1 ≤ i ≤ p, et que que ker(g − λi Id) = ker(f − λi Id).
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b) En d´ duire qu’ a tout endomorphisme sym´ trique et positif f on peut associer un endomore e phisme g sym´ trique et positif unique tel que gog = f