SECOND DEGRE (Partie 1)

I. Fonction polynôme de degré 2

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur [pic]par une expression de la forme : [pic] où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec [pic].

Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".

Exemples et contre-exemples :
- [pic],
- [pic],
- [pic]
- [pic] sont des fonctions polynômes de degré 2.

- [pic] est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).

- [pic] est une fonction polynôme de degré 4.

II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Soit la fonction f définie sur [pic] par : [pic].

On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : [pic]((x - ()2 + ( où (, ( et ( sont des nombres réels.

[pic]
[pic]

[pic] est la forme canonique de f.

Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur [pic] par [pic]peut s'écrire sous la forme : [pic], où [pic]et [pic]sont deux nombres réels.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.

Démonstration :

Comme [pic]0, on peut écrire pour tout réel x :
[pic]
avec [pic] et [pic].

III. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :[pic]
Alors : [pic] car [pic] est positif.
Or [pic] donc pour tout x, [pic]. f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par [pic], avec [pic].
- Si [pic], f admet un minimum pour [pic]. Ce minimum est égal à [pic].
- Si [pic], f admet un maximum pour [pic]. Ce minimum est égal à [pic].

Remarque :
Soit la fonction f définie sur [pic] par : [pic], avec [pic]0.
On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour [pic].
(voir résultat de la