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BAC S 2003 MATHÉMATIQUES - ÉNONCÉ

Exercice 1 (4 points) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u , v ) (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2, b = 1 − i et c = 1 + i.
→ →

1. a. Placer les points A, B et C sur une figure. b. Calculer

c−a . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. b−a

2. a. On appelle r larotation de centre A telle que r(B) = C. Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D = r(C). b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l'image Γ' du cercle Γ par la rotation r. 3. Soit M un point de Γ d'affixe z, distinct de C et M' d'affixe z' son image par r.
¤ ¥ ¤ ¥ ¡ ¢

a. Montrer qu'il existe un réel θ appartenant à 0 ;

π π ∪ ; 2π tel que z = 1 + eiθ . 22
£ £  

b. Exprimer z' en fonction de θ. c. Montrer que

z′ − c est un réel. En déduire que les points C, M et M' sont alignés. z−c
i 2π 3

d. Placer sur la figure le point M d'affixe 1 + e

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  ¡ ¢

et construire son image M' par r.

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G. COSTANTINI

Exercice 2 Obligatoire (5 points)

Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : •OAB, OAC, OBC sont des triangles rectangles en O. • OA = OB = OC = a

C

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle

H O D I A B

ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC → → et D le point de l'espace défini par HO = OD .

1. Quelle est la nature du triangle ABC ? 2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre dutriangle ABC. 3. Calcul de OH. a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC. b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a

3 . 3
¡ ¥

4. Étude du tétraèdre ABCD. 1 1 1 L'espace est rapporté au repère orthonormal O ; OA , OB , OC . a a a
¥ ¤ £ ¨ ¦§©¨ ¦§§©¨ §§¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¢ ¤

a. Démontrer que le point H a pour coordonnées :

a a a , , . 3 3 3£ ¢

b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur). c. Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

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¡

 

G. COSTANTINI

Exercice 2 Spécialité (5 points)

Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1et 2 ; seule l'équation de Γ donnée en 1.c. intervient à la question 4.
→ → →

1. L'espace est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) a. Montrer que les plans P et Q d'équations respectives : x + 3 y − 2z = 0 et 2x − z = 0 ne sont pas parallèles. b. Donner un système d'équations paramétriques de la droite ∆ intersection des plans P et Q. c. On considère le cône de révolution Γ d'axe(Ox) contenant la droite ∆ comme génératrice. Montrer que Γ a pour équation cartésienne y2 + z2 = 7x2. 2. On a représenté sur les figures ci-dessous les intersections de Γ avec des plans parallèles aux axes de coordonnées. Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles en justifiant avec soin votre réponse.

Figure 1

Figure 2

3. a. Montrer que l'équation x 2 ≡ 3 [7], dontl'inconnue x est un entier relatif, n'a pas de solution. b. Montrer la propriété suivante : pour tous entiers relatifs a et b, si 7 divise a2 + b2, alors 7 divise a et 7 divise b 4. a. Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété suivante : si le point A de coordonnées (a, b, c) est un point de cône Γ, alors a, b et c sont divisibles par 7. b. En déduire que le seul point de Γdont les coordonnées sont des entiers relatifs est le sommet de ce cône.

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Problème (11 points)

Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant t = 0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus).
Ce problème a pour objet l'étude de deux modèles d'évolution de cette population de bactéries :...
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