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Sciences Industrielles - Lycée Blaise Pascal - ORSAY - MP / MP* - 2012/2013

Chaînes de solides - Théorie des mécanismes
I - Résolution de systèmes linéaires. a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1p xp = b1

1 - Définition.
On appelle système linéaire de n équations à p inconnues la conjonction de n équations du type :

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2p xp = b2 ...... ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aij xj + ... + aip xp = bi ..... an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + anp xp = bn

(1)

i est l’indice de ligne et j est l’indice de colonne. On peut mettre le système (1) sous la forme matricielle suivante : [A] est la matrice des coefficients du système (connue), {X} est le vecteur colonne des inconnues, {B} est le vecteur colonne second membre (connu). Remarques : - Si {B} = {0}, on dit que le système est sans second membre ou homogène. - Le déterminant principal d’un système linéaire est le déterminant non nul d’ordre le plus élevé que l’on peut extraire de la matrice [A] des coefficients. Il n’est pas toujours unique. - On appelle rang du système linéaire, l’ordre de son déterminant principal.

[A] {X} = {B}

(2)

2 - Système de Cramer. a - Définition. On dit qu’un système est ‘de Cramer’ si : n=p dét [A] ≠ 0 ( la matrice [A] est carrée ) ( dét [A] désigne le déterminant de la matrice carrée [A] )

On montre que dans ces conditions, la solution du système linéaire existe et est unique. Cette solution unique est nulle si le système linéaire est homogène. b - Condition de compatibilité d’une équation supplémentaire avec la solution d’un système de Cramer. Soit un système de Cramer (S) : a11 x1 + a12 x2 + ...... + a1p xp = b1 a21 x1 + a22 x2 + ...... + a2p xp = b2 ...... an1 x1 + an2 x2 + ...... + anp xp = bn et soit l’équation supplémentaire : as1 x1 + as2 x2 + ...... + asp xp = bs (n=p)

Pour que cette équation supplémentaire d’indice s soit vérifiée par la solution du système de Cramer (S), il faut et il suffit que le déterminant