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Baccalauréat S France 15 juin 2007

E XERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats → → → − − − L’espace est muni du repère orthonormal O, ı ,  , k . Soient (P) et (P′ ) les plans d’équations respectives x +2y − z +1 = 0 et −x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1). 1. Démontrer que les plans (P) et (P′ ) sont perpendiculaires. 2. Soit (d) la droite dont une représentationparamétrique est :   x = −1 +t    3 1 où t est un nombre réel.  y = −   3  z = t 3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P′ ). 4. En déduire la distance du point A à la droite (d). E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 3 points

Démontrer que les plans (P) et (P′ ) se coupent selon la droite (d).

1. Restitution organisée de connaissances Démontrer la formuled’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b]. 2. Soient les deux intégrales définies par I=
π 0

ex sin x dx et J =

π 0

ex cos x d.

a. Démontrer que 1 = −J et que I = J + eπ + 1. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J. E XERCICE 3 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement despécialité Partie A On considère l’équation : (E) z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0 où z est un nombre complexe. 1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c . 3. En déduire les solutions de l’équation (E). Partie B → →− − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i. 5 points

Baccalauréat S

1. Soit r la rotation de centre B et d’angle image du point A par la rotation r .

π . Déterminer l’affixe du point A′ , 4

2. Démontrer que les points A′ , B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe del’homothétie de centre B qui transforme C en A′ . E XERCICE 3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points

La figure est proposée en annexe 1. Elle sera complétée tout au long de l’exercice. → → − − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on considère les points A, B et C, d’affixes respectives −5 + 6i, −7 − 2i et 3 − 2i. On admet que le point F,d’affixe −2 + i est le centre du cercle Γ circonscrit au triangle ABC. 1. Soit H le point d’affixe −5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. 2. a. Étant donné des nombres complexes z et z ′ , on note M le point d’affixe z et M ′ le point d’affixe z ′ . Soient a et b des nombres complexes. Soit s la transformation d’écriturecomplexe z ′ = az + b qui, au point M, associe le point M ′ . Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ? b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC). c. Vérifier que le point E est ùn point du cercle Γ. 3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe du point G, image du point I parl’homothétie de centre B 2 et de rapport . 3 Démontrer que les points H, G et F sont alignés. E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 4 points

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certainesquestions, les résultats proposés ont été arrondis à 10−3 près. 1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’il rencontre un client, la probabilité qu’il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :...
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