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ACTIVITÉS
Activité 1 pour hauteurs donc un = 1 f n  b) De même, supérieurs : 1 vn =  f n n un vn 5 0,24 0,44

Intégration et primitives
(page 192) Ainsi les suites ( un ) et ( vn ) convergent toutes les deux vers 1 = . 3

CHAPITRE

1 1 a) Les rectangles inférieurs ont tous pour largeur et

n  0  1  n − 1 respectivement f   , f   ,..., f   n  n  n    0  1  n − 1  .   + f   + ... + f   n  n  n   pour la somme des aires des rectangles  1  2  n    + f   + ... + f    .  n  n  n  10 0,285 0,385 100 0,32835 0,33835 1000 0,3328335 0,3338335

Activité 2 violet, @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) , est comprise entre celle du rectangle inférieur et celle du rectangle supérieur de même largeur h et de hauteur respectivement f ( x0 + h) et f ( x0 ) , d’où : h × f ( x0 + h)  @ ( x0 + h) − @ ( x0 )  h × f ( x0 ) . Par division par h > 0 : @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) f ( x0 + h)   f ( x0 ) , h @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 1   [1]. x0 + h h x0 b) De même en remarquant que la largeur des rectangles est ici −h (vu que h < 0 ) on obtient : − h × f ( x0 )  @ ( x0 ) − @ ( x0 + h)  − h × f ( x0 + h) . Par division par −h (strictement positif): @ ( x0 ) − @ ( x0 + h) f ( x0 )   f ( x0 + h) −h @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 1   [2]. x0 h x0 + h 1 1 = donc d’après c) Dans l’encadrement [1], lim h→ 0 + x + h x0 0 le théorème « des gendarmes », @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 + h x0 De même, à partir de l’encadrement [2], @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 − h x0 Ainsi le taux d’accroissement de la fonction @ entre x0 et 1 x0 + h admet une limite finie lorsque h tend vers 0, x0 1 donc la fonction @ est dérivable en x0 et @ '( x0 ) = . x0 d) Ceci étant vrai pour tout x0 de I, la fonction @ est donc dérivable sur I et @ ' = f .

1 a) Sur l’intervalle x0 ; x0 + h , l’aire du domaine en  

2 a) Tableau de résultats :

Enseignement spécifique ● Chapitre 7 ● Intégration et primitives

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© Nathan 2012 –