Chapitre III : Dérivation
1
1.1

Fonctions dérivables
Nombre dérivé, fonction dérivée

Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. f est dérivable en a si et seulement si l’une ou l’autre des deux propositions équivalentes est réalisée : f (a + h) − f (a) a une limite finie l en 0, ou encore
– la fonction h −→ h f (x) − f (a) a pour limite l quand x tend vers a. que la fonction x −→ x−a – pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a) + hl + hε(h) avec lim ε(h) = 0. h→0 Le nombre l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.
Remarques : f (a + h) − f (a)
(h = 0) est appelé taux de variation de f entre a et a + h. h f (a + h) − f (a)
(h = 0) est le coefficient directeur de la droite
– Soit A(a; f (a)) et M (a + h; f (a + h)), h (AM ).
– Le nombre

Le nombre dérivé de f en a est noté f (a).
Lorsque la fonction f admet un nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a.
Lorsque f est dérivable en tout point d’un intervalle I inclus dans le domaine de définition de f , on dit que f est dérivable sur I.
Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f qui à tout a dans I associe f (a).

1.2

tangente et approximation affine locale

• C est la courbe représentative de f dans un repère.
Une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse a est : y = f (a)(x − a) + f (a)
• Pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a) + f (a)h + hε(h) et lim ε(h) = 0 h→0 f (a) + f (a)h est l’approximation affine de f (a + h) pour h proche de 0, associée à f .
Exemple : f est la fonction définie sur [−1; 1] par f (x) =
La fonction f est-elle dérivable en -1 ? en 0 ?

√

1 − x2 .

Solution
√

h2

h

2
−1
h
=
h

f (−1 + h) − f (−1)
2h −
=
= h h
√
2
X = +∞ et d’après les propriétés
Or lim − 1 = +∞, et lim h→0 h
X→+∞
2
− 1 = +∞. lim h→0 h f (−1 + h) − f (−1)
= +∞ donc la fonction f