SUITES (Partie 1)

I. Raisonnement par récurrence

C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912).

Principe :
On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file.
Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent.

Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1.

Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.

Principe du raisonnement par récurrence :
Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0.

Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n0 = 1.
L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).
On en déduit que tous les dominos tombent.

Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre lorsque toute démonstration "classique" est difficile.

Exemple mathématique :
Soit un nombre réel a strictement positif.
Démontrons que pour tout entier naturel n, on a : .
Cette propriété porte le nom d'inégalité de Bernoulli.

- La propriété est vraie pour n = 0 (Initialisation).
En effet, et  Le premier domino tombe.

- Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : (Hypothèse de récurrence).  On suppose que le k-ième domino tombe.
La propriété est-elle vraie au rang k+1 ?  Le k+1-ième domino tombe-t-il ?
Démontrons alors que : (Hérédité).

, d'après l'hypothèse de récurrence.
Donc : , car .
Et donc : .  Le k+1-ième domino tombe.

La propriété est donc vraie pour tout entier