Formules de trigonométrie circulaire
Soient a, b, p, q, x, y ∈ R (tels que les fonctions soient bien définies) et n ∈ N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonométriques est nécessaire.

Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx

tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2

x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3 π 2 ix cos(x) sin(x) tan(x) 1 0 0 √ √
3 2 √ 2 2 1 2 1 2 √ 2 2 √ 3 2 3 3

0
−ix

1 ix 1 √ 3 ±∞
−ix

Il faut savoir linéariser à l’aide des formules d’Euler cos(x) = e +e et sin(x) = e −e ; de même, 2 2i développer se réalise à partir des formules de Moivre einx = (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx).

Formules d’addition cos(a + b) = sin(a + b) = tan(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) tan(a)+tan(b) 1−tan(a) tan(b)

cos(a − b) = sin(a − b) = tan(a − b) =

cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) tan(a)−tan(b) 1+tan(a) tan(b)

Pour retenir cos x ± n π et sin x ± n π , il suffit de visualiser les axes du cercle trigonométrique : 2 2 + cos, + sin, − cos et − sin (dans le sens trigonométrique). Ajouter π correspond à avancer dans le sens 2 antitrigonométrique (ou à dériver) ; retrancher π correspond à avancer dans le sens trigonométrique (ou 2 à intégrer). Par exemple : sin x + π = cos(x) et sin(x + π) = − sin(x). 2

Formules d’angle double cos(2x) = = cos2 (x) − sin2 (x) 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) sin(2x) = tan(2x) = 2 sin(x) cos(x)
2 tan(x) 1−tan2 (x)

Formules du demi-angle cos2 (x) =
1+cos(2x) 2 x 2

sin2 (x) =

1−cos(2x) 2

tan(x) =
1−t2 , 1+t2

sin(2x) 1+cos(2x) 2t 1+t2

=

1−cos(2x) sin(2x) 2t · 1−t2

En posant t = tan

pour x ≡ π [2π], on a : cos(x) =

sin(x) =

et tan(x) =

Somme, différence et produit cos(p) + cos(q) = sin(p) + sin(q) = tan(p) +